determina la ecuación de la parábola en su forma general que cumple con las condiciones de foco
irectriz y=-4
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Question

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Planteamos el problema de la siguiente forma. Se nos pide determinar la ecuación de una parábola, en forma general, que cumple que su directriz es  
$$
y=-4.
$$

Recordemos que, dada una parábola, la definición es que para cualquier punto $$(x,y)$$ de la curva la distancia al foco es igual a la distancia a la directriz. Cuando la directriz es una recta horizontal, la parábola tiene eje de simetría vertical y su ecuación en forma canónica (o vértice) es

$$
(x-h)^2=4p(y-k),
$$
 
donde $$(h,k)$$ es el vértice y $$p$$ es el valor tal que:
- El foco es $$(h,k+p)$$.
- La directriz es la recta $$y=k-p$$.

Dado que la única condición extraída de nuestro enunciado es que la directriz sea

$$
y=k-p=-4,
$$

podemos elegir los parámetros de modo cómodo. Una elección natural es situar el vértice en el origen, es decir, tomar

$$
(h,k)=(0,0).
$$

Con esta elección, la ecuación canónica resulta

$$
x^2=4py.
$$

La directriz se determina por

$$
y=-p.
$$

Dado que queremos que la directriz sea

$$
y=-4,
$$

igualamos

$$
-p=-4\quad\Longrightarrow\quad p=4.
$$

Por lo tanto, con $$p=4$$ la ecuación en forma canónica queda

$$
x^2=4\cdot 4\,y=16y.
$$

Para expresar la ecuación en forma general, pasamos todos los términos a un lado de la igualdad:

$$
x^2-16y=0.
$$

Así, la ecuación de la parábola en forma general es

$$
x^2-16y=0.
$$

Esta solución es completamente válida para una parábola con vértice en el origen, foco en

$$
(0,4)
$$

y directriz $$y=-4$$.
La ecuación de la parábola en forma general con directriz $$ y = -4 $$ es: $$ x^2 - 16y = 0 $$

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