1) \( (u-2)^{2}+(y+3)^{2}=25 \) melalui titik \( (5,1) \) 2) \( u^{2}+y^{2}-6 u+4 y-12=0 \) di titik \( (7,-5) \) 3) \( u^{2}+y^{2}-2 u+4 y-4=0 \) yang sejajar dengan garis \( y=3 u-5 \)

Mari kita selesaikan setiap soal satu per satu. ### 1) Persamaan Lingkaran Diberikan persamaan lingkaran: \[ (u-2)^{2}+(y+3)^{2}=25 \] Lingkaran ini memiliki pusat di \( (2, -3) \) dan jari-jari \( r = 5 \) (karena \( \sqrt{25} = 5 \)). Kita perlu memeriksa apakah titik \( (5, 1) \) berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran. Kita substitusi \( u = 5 \) dan \( y = 1 \) ke dalam persamaan lingkaran: \[ (5-2)^{2} + (1+3)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 \] Karena hasilnya sama dengan 25, maka titik \( (5, 1) \) berada tepat di lingkaran. ### 2) Persamaan Lingkaran Diberikan persamaan: \[ u^{2}+y^{2}-6u+4y-12=0 \] Kita akan menyusun ulang persamaan ini ke dalam bentuk lingkaran. Pertama, kita kelompokkan variabel \( u \) dan \( y \): \[ (u^{2}-6u) + (y^{2}+4y) = 12 \] Sekarang kita lengkapi kuadrat untuk \( u \) dan \( y \). Untuk \( u \): \[ u^{2}-6u = (u-3)^{2} - 9 \] Untuk \( y \): \[ y^{2}+4y = (y+2)^{2} - 4 \] Substitusi kembali ke dalam persamaan: \[ ((u-3)^{2} - 9) + ((y+2)^{2} - 4) = 12 \] \[ (u-3)^{2} + (y+2)^{2} - 13 = 12 \] \[ (u-3)^{2} + (y+2)^{2} = 25 \] Lingkaran ini memiliki pusat di \( (3, -2) \) dan jari-jari \( r = 5 \). Sekarang kita periksa apakah titik \( (7, -5) \) berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran. Kita substitusi \( u = 7 \) dan \( y = -5 \): \[ (7-3)^{2} + (-5+2)^{2} = 4^{2} + (-3)^{2} = 16 + 9 = 25 \] Karena hasilnya sama dengan 25, maka titik \( (7, -5) \) berada tepat di lingkaran. ### 3) Persamaan Lingkaran Sejajar Diberikan persamaan: \[ u^{2}+y^{2}-2u+4y-4=0 \] Kita akan menyusun ulang persamaan ini ke dalam bentuk lingkaran: \[ (u^{2}-2u) + (y^{2}+4y) = 4 \] Lengkapi kuadrat untuk \( u \) dan \( y \). Untuk \( u \): \[ u^{2}-2u = (u-1)^{2} - 1 \] Untuk \( y \): \[ y^{2}+4y = (y+2)^{2} - 4 \] Substitusi kembali ke dalam persamaan: \[ ((u-1)^{2} - 1) + ((y+2)^{2} - 4) = 4 \] \[ (u-1)^{2} + (y+2)^{2} - 5 = 4 \] \[ (u-1)^{2} + (y+2)^{2} = 9 \] Lingkaran ini memiliki pusat di \( (1, -2) \) dan jari-jari \( r = 3 \). Kita ingin mencari lingkaran yang sejajar dengan garis \( y = 3u - 5 \). Gradien garis tersebut adalah 3. Lingkaran yang sejajar dengan garis ini akan memiliki pusat yang terletak pada garis dengan gradien yang sama. Kita dapat menggunakan pusat lingkaran yang sudah ada, yaitu \( (1, -2) \), dan mencari lingkaran baru dengan pusat yang terletak pada garis \( y = 3u - 5 \). Misalkan pusat lingkaran baru adalah \( (h, 3h - 5) \). Karena kita ingin lingkaran baru, kita bisa menggunakan jari-jari yang sama (atau berbeda) dan menuliskan persamaan lingkaran baru: \[ (u-h)^{2} + (y - (3h - 5))^{2} = r^{2} \] Di mana \( r \) adalah jari-jari yang kita pilih. Dengan demikian, kita telah menyelesaikan ketiga soal tersebut.