$$ \begin{array}{ll} ext { d) }-6 \leq \frac{1}{3} x+2

Question

$$ \begin{array}{ll}	ext { d) }-6 \leq \frac{1}{3} x+2<\sqrt{8} & 	ext { e) } 3 u \leq 9 u-\frac{7}{4}<5 \ 	ext { g) } 5 x^{2}-3 x<0 & 	ext { h) } t^{2}-2 t-15 \geq 0 \ 	ext { j) } 6 z^{2}-z+2<5 z^{2}-5-3 z & 	ext { k) }\left(x^{2}-2ight)(x+8) \geq 0 \ 	ext { m) } \frac{6}{a-5}>-3\end{array} $$

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**d) Resolver:** $$ -6 \leq \frac{1}{3}x + 2 < \sqrt{8} $$ 1. Despejar la desigualdad por separado. - Primera parte: $$ -6 \leq \frac{1}{3}x + 2 \quad\Rightarrow\quad -6 - 2 \leq \frac{1}{3}x \quad\Rightarrow\quad -8 \leq \frac{1}{3}x. $$ Multiplicando por 3: $$ -24 \leq x. $$ - Segunda parte: $$ \frac{1}{3}x + 2 < \sqrt{8}. $$ Restar 2: $$ \frac{1}{3}x < \sqrt{8} - 2. $$ Multiplicar por 3: $$ x < 3\left(\sqrt{8}-2\right). $$ Recordando que $$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$, se tiene: $$ x < 3\left(2\sqrt{2}-2\right)=6\sqrt{2}-6. $$ La solución conjunta es: $$ -24 \leq x < 6\sqrt{2}-6. $$ --- **e) Resolver:** $$ 3u \leq 9u - \frac{7}{4} < 5 $$ 1. Primera parte: $$ 3u \leq 9u - \frac{7}{4}. $$ Restar $$9u$$ a ambos lados: $$ -6u \leq -\frac{7}{4}. $$ Dividir por $$-6$$ (recordando invertir el signo de la desigualdad): $$ u \geq \frac{7}{24}. $$ 2. Segunda parte: $$ 9u - \frac{7}{4} < 5. $$ Sumar $$\frac{7}{4}$$ a ambos lados: $$ 9u < 5 + \frac{7}{4} = \frac{20}{4} + \frac{7}{4} = \frac{27}{4}. $$ Dividir por 9: $$ u < \frac{27}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}. $$ La solución es: $$ \frac{7}{24} \leq u < \frac{3}{4}. $$ --- **g) Resolver:** $$ 5x^2 - 3x < 0 $$ 1. Factorizar la expresión: $$ x(5x-3) < 0. $$ 2. Determinar los ceros: $$ x=0 \quad \text{y} \quad 5x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{5}. $$ 3. Analizar el signo en cada intervalo: - Para $$x<0$$: $$x$$ negativo y $$5x-3$$ negativo $$\Rightarrow$$ producto positivo. - Para $$0\frac{3}{5}$$: ambos factores positivos $$\Rightarrow$$ producto positivo. La desigualdad se cumple cuando el producto es negativo, por lo que: $$ 0 < x < \frac{3}{5}. $$ --- **h) Resolver:** $$ t^2 - 2t - 15 \geq 0 $$ 1. Factorizar la expresión: Se observa que $$ t^2 - 2t - 15 = (t-5)(t+3). $$ 2. Los ceros son: $$ t=-3 \quad \text{y} \quad t=5. $$ 3. Al tener un trinomio de coeficiente principal positivo, la expresión es no negativa cuando: $$ t \leq -3 \quad \text{ó} \quad t \geq 5. $$ La solución es: $$ (-\infty, -3] \cup [5, \infty). $$ --- **j) Resolver:** $$ 6z^2 - z + 2 < 5z^2 - 5 - 3z $$ 1. Restar $$5z^2 - 5 - 3z$$ en ambos lados: $$ 6z^2 - z + 2 - 5z^2 + 5 + 3z < 0. $$ 2. Simplificar: $$ z^2 + 2z + 7 < 0. $$ 3. Analizar el discriminante de la ecuación $$z^2+2z+7=0$$: $$ \Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot7 = 4 - 28 = -24. $$ Dado que $$\Delta < 0$$ y el coeficiente principal es positivo, la expresión es siempre positiva para todo $$z$$. Por lo tanto, no existen valores de $$z$$ que satisfagan la desigualdad. La solución es el conjunto vacío. --- **k) Resolver:** $$ \left(x^2-2\right)(x+8)\geq 0 $$ 1. Encontrar los ceros de cada factor: - Para $$x^2-2=0$$: $$ x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}. $$ - Para $$x+8=0$$: $$ x=-8. $$ 2. Ordenar los puntos críticos: $$ -8,\ -\sqrt{2},\ \sqrt{2}. $$ 3. Analizar el signo en cada intervalo: - Para $$x < -8$$: Tomar $$x=-10$$. $$\bullet$$ $$x^2-2$$ es positivo (100-2>0).\quad $$\bullet$$ $$x+8$$ es negativo. Producto: negativo. - Para $$-8 < x < -\sqrt{2}$$: Tomar $$x=-5$$. $$\bullet$$ $$x^2-2$$ es positivo (25-2>0).\quad $$\bullet$$ $$x+8$$ es positivo. Producto: positivo. - Para $$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$$: Tomar $$x=0$$. $$\bullet$$ $$x^2-2$$ es negativo.\quad $$\bullet$$ $$x+8$$ es positivo. Producto: negativo. - Para $$x > \sqrt{2}$$: Tomar $$x=3$$. $$\bullet$$ $$x^2-2$$ es positivo (9-2>0).\quad $$\bullet$$ $$x+8$$ es positivo. Producto: positivo. 4. Incluir los puntos donde la igualdad se cumple ($$=0$$): - $$x=-8,\ -\sqrt{2}$$ y $$\sqrt{2}$$. La solución es: $$ [-8, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty). $$ --- **m) Resolver:** $$ \frac{6}{a-5} > -3 $$ Es importante notar que $$a-5\neq 0$$ (por tanto $$a\neq5$$). Resolver considerando casos según el signo de $$a-5$$: 1. Caso 1: $$a-5 > 0$$ (esto es, $$a>5$$) Multiplicamos la desigualdad por $$a-5$$ (sin invertir el signo): $$ 6 > -3(a-5). $$ Desarrollar: $$ 6 > -3a+15. $$ Restar 15: $$ 6-15 > -3a \quad\Rightarrow\quad -9 > -3a. $$ Dividir por $$-3$$ (invertir el signo): $$ 3 < a. $$ Dado que en este caso ya se tiene $$a>5$$, la condición $$a>5$$ es la que prevalece. 2. Caso 2: $$a-5 < 0$$ (esto es, $$a<5$$) Al multiplicar, se invierte la desigualdad: $$ 6 < -3(a-5). $$ Desarrollar: $$ 6 < -3a+15. $$ Restar 15: $$ 6-15 < -3a \quad\Rightarrow\quad -9 < -3a. $$ Dividir por $$-3$$ (invierte el signo): $$ 3 > a. $$ Es decir, $$a < 3$$. La solución combinada es: $$ a < 3 \quad \text{o} \quad a > 5, $$ con la condición adicional de que $$a \neq 5$$. --- Resumen **Resumen de las Soluciones:** - **d)** $$ -24 \leq x < 6\sqrt{2} - 6 $$ - **e)** $$ \frac{7}{24} \leq u < \frac{3}{4} $$ - **g)** $$ 0 < x < \frac{3}{5} $$ - **h)** $$ t \leq -3 $$ o $$ t \geq 5 $$ - **j)** Sin solución (la desigualdad no se cumple para ningún $$ z $$) - **k)** $$ -8 \leq x \leq -\sqrt{2} $$ o $$ x \geq \sqrt{2} $$ - **m)** $$ a < 3 $$ o $$ a > 5 $$ (con $$ a \neq 5 $$) **Notas:** - En **j)**, no hay valores de $$ z $$ que satisfagan la desigualdad. - En **m)**, se excluye $$ a = 5 $$ para evitar la división por cero.

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