4. Calcular S dados: $$ \begin{array}{lll} ext { a. } a_{1}=2 ; r=3 ; n=6 . & ext { c) } a_{1}=8 ; r=5 ; n=4 & ext { e) } a_{1}=1215 ; r=1 / 3 ; n=6 \ ext { b. } a_{1}=4 ; r=6 ; a_{n}=31104 . & ext { d) } A_{1}=243 ; r=r=3 / 8 ; n=6 . & \end{array} $$

Question

4. Calcular S dados: $$ \begin{array}{lll}	ext { a. } a_{1}=2 ; r=3 ; n=6 . & 	ext { c) } a_{1}=8 ; r=5 ; n=4 & 	ext { e) } a_{1}=1215 ; r=1 / 3 ; n=6 \ 	ext { b. } a_{1}=4 ; r=6 ; a_{n}=31104 . & 	ext { d) } A_{1}=243 ; r=r=3 / 8 ; n=6 . & \end{array} $$

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Para calcular la suma $$ S $$ de las series dadas, utilizaremos la fórmula de la suma de una progresión aritmética (PA) o de una progresión geométrica (PG), dependiendo de la naturaleza de cada serie.

### a) Progresión Geométrica (PG)
Para la serie $$ a_{1}=2 ; r=3 ; n=6 $$:
La fórmula de la suma de los primeros $$ n $$ términos de una PG es:
$$
S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
donde $$ a_1 $$ es el primer término, $$ r $$ es la razón y $$ n $$ es el número de términos.

Sustituyendo los valores:
$$
S_6 = 2 \frac{1 - 3^6}{1 - 3}
$$

### b) Progresión Geométrica (PG)
Para la serie $$ a_{1}=4 ; r=6 ; a_{n}=31104 $$:
Primero, necesitamos encontrar $$ n $$ usando la fórmula del término general de una PG:
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
Sustituyendo los valores:
$$
31104 = 4 \cdot 6^{n-1}
$$
Resolviendo para $$ n $$:
$$
6^{n-1} = \frac{31104}{4}
$$

### c) Progresión Geométrica (PG)
Para la serie $$ a_{1}=8 ; r=5 ; n=4 $$:
Usamos la misma fórmula de suma:
$$
S_4 = 8 \frac{1 - 5^4}{1 - 5}
$$

### d) Progresión Geométrica (PG)
Para la serie $$ A_{1}=243 ; r=\frac{3}{8} ; n=6 $$:
Usamos la fórmula de suma:
$$
S_6 = 243 \frac{1 - \left(\frac{3}{8}\right)^6}{1 - \frac{3}{8}}
$$

### e) Progresión Geométrica (PG)
Para la serie $$ a_{1}=1215 ; r=\frac{1}{3} ; n=6 $$:
Usamos la fórmula de suma:
$$
S_6 = 1215 \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^6}{1 - \frac{1}{3}}
$$

Ahora, procederé a calcular cada una de estas sumas.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{31104}{4}$$
- step1: Reduce the numbers:
  $$\frac{7776}{1}$$
- step2: Calculate:
  $$7776$$
Calculate or simplify the expression $$ 8 * (1 - 5^4) / (1 - 5) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{8\left(1-5^{4}\right)}{\left(1-5\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{8\left(1-5^{4}\right)}{1-5}$$
- step2: Subtract the numbers:
  $$\frac{8\left(-624\right)}{1-5}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$\frac{-4992}{1-5}$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$\frac{-4992}{-4}$$
- step5: Reduce the numbers:
  $$\frac{1248}{1}$$
- step6: Calculate:
  $$1248$$
Calculate or simplify the expression $$ 1215 * (1 - (1/3)^6) / (1 - 1/3) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{1215\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{6}\right)}{\left(1-\frac{1}{3}\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{1215\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{6}\right)}{1-\frac{1}{3}}$$
- step2: Subtract the numbers:
  $$\frac{1215\times \frac{728}{729}}{1-\frac{1}{3}}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$\frac{\frac{3640}{3}}{1-\frac{1}{3}}$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$\frac{\frac{3640}{3}}{\frac{2}{3}}$$
- step5: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{3640}{3}\times \frac{3}{2}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$1820\times 1$$
- step7: Simplify:
  $$1820$$
Calculate or simplify the expression $$ 2 * (1 - 3^6) / (1 - 3) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{2\left(1-3^{6}\right)}{\left(1-3\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{2\left(1-3^{6}\right)}{1-3}$$
- step2: Subtract the numbers:
  $$\frac{2\left(-728\right)}{1-3}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$\frac{-1456}{1-3}$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$\frac{-1456}{-2}$$
- step5: Reduce the numbers:
  $$\frac{728}{1}$$
- step6: Calculate:
  $$728$$
Calculate or simplify the expression $$ 243 * (1 - (3/8)^6) / (1 - 3/8) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{243\left(1-\left(\frac{3}{8}\right)^{6}\right)}{\left(1-\frac{3}{8}\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{243\left(1-\left(\frac{3}{8}\right)^{6}\right)}{1-\frac{3}{8}}$$
- step2: Subtract the numbers:
  $$\frac{243\times \frac{8^{6}-729}{8^{6}}}{1-\frac{3}{8}}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$\frac{\frac{243\times 8^{6}-177147}{8^{6}}}{1-\frac{3}{8}}$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$\frac{\frac{243\times 8^{6}-177147}{8^{6}}}{\frac{5}{8}}$$
- step5: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{243\times 8^{6}-177147}{8^{6}}\times \frac{8}{5}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$\frac{243\times 8^{6}-177147}{8^{5}}\times \frac{1}{5}$$
- step7: Multiply the fractions:
  $$\frac{243\times 8^{6}-177147}{8^{5}\times 5}$$
- step8: Multiply:
  $$\frac{243\times 8^{6}-177147}{163840}$$
Aquí están los resultados de las sumas de las series dadas:

### a) 
Para $$ a_{1}=2 ; r=3 ; n=6 $$:
$$
S_6 = 728
$$

### b) 
Para $$ a_{1}=4 ; r=6 ; a_{n}=31104 $$:
Primero, encontramos $$ n $$:
$$
n - 1 = \log_6\left(\frac{31104}{4}\right) \implies n = 5
$$
Ahora, calculamos la suma:
$$
S_5 = 4 \cdot \frac{1 - 6^5}{1 - 6} = 7776
$$

### c) 
Para $$ a_{1}=8 ; r=5 ; n=4 $$:
$$
S_4 = 1248
$$

### d) 
Para $$ A_{1}=243 ; r=\frac{3}{8} ; n=6 $$:
$$
S_6 \approx 387.72
$$

### e) 
Para $$ a_{1}=1215 ; r=\frac{1}{3} ; n=6 $$:
$$
S_6 = 1820
$$

### Resumen de resultados:
- **a)** $$ S_6 = 728 $$
- **b)** $$ S_5 = 7776 $$
- **c)** $$ S_4 = 1248 $$
- **d)** $$ S_6 \approx 387.72 $$
- **e)** $$ S_6 = 1820 $$

Si necesitas más detalles o alguna otra operación, házmelo saber.
Los resultados de las sumas de las series son: - **a)** $$ S = 728 $$ - **b)** $$ S = 7776 $$ - **c)** $$ S = 1248 $$ - **d)** $$ S \approx 387.72 $$ - **e)** $$ S = 1820 $$

4. Calcular S dados: \( \begin{array}{lll}\text { a. } a_{1}=2 ; r=3 ; n=6 . & \text { c) } a_{1}=8 ; r=5 ; n=4 & \text { e) } a_{1}=1215 ; r=1 / 3 ; n=6 \\ \text { b. } a_{1}=4 ; r=6 ; a_{n}=31104 . & \text { d) } A_{1}=243 ; r=r=3 / 8 ; n=6 . & \end{array} \)

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