$$ \sqrt {x}+\sqrt {8+2x^{2}}=1+\sqrt {2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. **确定定义域**

方程为
   $$
   \sqrt{x} + \sqrt{8+2x^2} = 1+\sqrt{2}.
   $$
   其中 $$\sqrt{x}$$ 要求 $$x\ge 0$$；而 $$\sqrt{8+2x^2}$$ 对于所有实数 $$x$$ 都有定义。因此，定义域为
   $$
   x\ge0.
   $$

2. **分析函数的单调性**

定义函数
   $$
   f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{8+2x^2}.
   $$
   在 $$x\ge 0$$ 范围内：
   
   - $$\sqrt{x}$$ 随 $$x$$ 增大而增大。
   - $$\sqrt{8+2x^2}$$ 中的 $$2x^2$$ 随 $$x$$ 增大而增大，因此整个平方根也随 $$x$$ 增大而增大。
   
   所以 $$f(x)$$ 为单调严格递增函数。

3. **检查 $$x=0$$ 处的函数值**

当 $$x=0$$ 时，
   $$
   f(0)=\sqrt{0}+\sqrt{8+2\cdot 0^2}=0+\sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
   $$
   由于 $$\sqrt{2}\approx 1.414$$，故
   $$
   2\sqrt{2}\approx 2.828.
   $$
   
   而右侧
   $$
   1+\sqrt{2}\approx 1+1.414=2.414.
   $$

4. **讨论方程的解的存在性**

由以上计算可知，在 $$x=0$$ 时，
   $$
   f(0)=2\sqrt{2}\approx2.828 > 1+\sqrt{2}\approx2.414.
   $$
   
   由于 $$f(x)$$ 在 $$x\ge0$$ 内为严格递增函数，所以对于任意 $$x>0$$ 有
   $$
   f(x) > f(0) > 1+\sqrt{2}.
   $$
   
   因此，方程
   $$
   \sqrt{x}+\sqrt{8+2x^2}=1+\sqrt{2}
   $$
   在 $$x\ge0$$ 内无解。

5. **结论**

综上所述，该方程在实数范围内无解。
该方程在实数范围内无解。

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