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Solve: \( \frac{x^{2}-x-6}{x^{2}}=\frac{x-6}{2 x}+\frac{2 x+12}{x} \) After multiplying each side of the equation by the LCD and simplifying, the resulting equation is

Ask by Reyes Beck. in the United States
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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After multiplying by the LCD and simplifying, the equation becomes \(3x^2 + 20x + 12 = 0\).

Solución

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Beyond the Answer

To solve the equation \( \frac{x^{2}-x-6}{x^{2}}=\frac{x-6}{2 x}+\frac{2 x+12}{x} \), we first find the least common denominator (LCD), which is \( 2x^2 \). Multiplying both sides by \( 2x^2 \) gives us: \[ 2x^2 \cdot \frac{x^{2}-x-6}{x^{2}} = 2x^2 \cdot \frac{x-6}{2x} + 2x^2 \cdot \frac{2x+12}{x} \] This simplifies to: \[ 2(x^{2}-x-6) = x(x-6) + 2(2x+12) \] Expanding both sides, we get: \[ 2x^{2} - 2x - 12 = x^2 - 6x + 4x + 24 \] Further simplification leads to: \[ 2x^{2} - 2x - 12 = x^2 - 2x + 24 \] Rearranging gives: \[ 2x^2 - 2x - 12 - x^2 + 2x - 24 = 0 \] This results in: \[ x^2 - 36 = 0 \] So the simplified equation is: \[ x^2 - 36 = 0 \] Which factors to: \[ (x - 6)(x + 6) = 0 \] Thus, the solutions are \( x = 6 \) and \( x = -6 \).

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