Calcula la integral triple \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{y}(y+z) d z d y d x \)

Consideremos la integral triple \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{y}(y+z) \, dz \, dy \, dx. \] **Paso 1. Integración respecto a \( z \):** Definimos la integral interna \[ I_1 = \int_{0}^{y} (y+z) \, dz. \] La función se integra respecto a \( z \) de la siguiente manera: 1. Integramos \( y \) (constante respecto a \( z \)): \[ \int_{0}^{y} y \, dz = y \cdot z \Big|_{0}^{y} = y \cdot y = y^2. \] 2. Integramos \( z \): \[ \int_{0}^{y} z \, dz = \frac{z^2}{2} \Big|_{0}^{y} = \frac{y^2}{2}. \] Por lo tanto, \[ I_1 = y^2 + \frac{y^2}{2} = \frac{3y^2}{2}. \] **Paso 2. Integración respecto a \( y \):** La integral se convierte en \[ I_2 = \int_{0}^{x} \frac{3y^2}{2} \, dy. \] Factorizamos la constante \(\frac{3}{2}\): \[ I_2 = \frac{3}{2} \int_{0}^{x} y^2 \, dy. \] El resultado de la integral es \[ \int_{0}^{x} y^2 \, dy = \frac{x^3}{3}. \] Así, obtenemos \[ I_2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{2}. \] **Paso 3. Integración respecto a \( x \):** Finalmente, la integral se escribe como \[ I_3 = \int_{0}^{1} \frac{x^3}{2} \, dx. \] Sacamos la constante \(\frac{1}{2}\) fuera de la integral: \[ I_3 = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^3 \, dx. \] Realizamos la integración: \[ \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{4}. \] Así, la integral vale \[ I_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}. \] **Respuesta final:** \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{y}(y+z) \, dz \, dy \, dx = \frac{1}{8}. \]