\( \begin{array}{l} \text { Resolver operaciones }\\ \begin{array}{l} C=\left[\begin{array}{lll} -7 & -3 & 7 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}\right]^{2} D=\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 \\ 0 & 4 \\ -2 & 1 \end{array}\right] \quad A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & -3 \end{array}\right] \\ (c . D)^{t}+A \end{array} \end{array} \)

\[ \textbf{Paso 1. Definir la notación e interpretar la operación.} \] Se nos da: \[ C=\begin{pmatrix}-7 & -3 & 7 \\ 0 & 2 & 5\end{pmatrix}^{2}, \quad D=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 4 \\ -2 & 1\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 3 & -3\end{pmatrix}. \] La expresión a resolver es: \[ (c \cdot D)^t + A. \] Como la matriz \(C\) es de tamaño \(2\times 3\), no es posible hacer el producto matricial \(C\cdot C\) (pues las dimensiones no coinciden), por lo que interpretamos la notación de exponente \(2\) como que se deben elevar al cuadrado de forma “elemento a elemento”. Es decir, definimos una matriz \(c\) cuyos elementos son el cuadrado de los correspondientes elementos de \(C\). \[ c = C^{(2)} = \begin{pmatrix} (-7)^2 & (-3)^2 & 7^2 \\ 0^2 & 2^2 & 5^2 \end{pmatrix}. \] \[ \textbf{Paso 2. Calcular } c. \] Realizamos las operaciones en cada entrada: - Primera fila: \((-7)^2=49\), \((-3)^2=9\), \(7^2=49\). - Segunda fila: \(0^2=0\), \(2^2=4\), \(5^2=25\). Así, \[ c = \begin{pmatrix} 49 & 9 & 49 \\ 0 & 4 & 25 \end{pmatrix}. \] \[ \textbf{Paso 3. Calcular el producto } c\cdot D. \] Recordemos: \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}. \] El producto \( c\cdot D \) es: \[ c\cdot D= \begin{pmatrix} 49\cdot 1+9\cdot 0+49\cdot (-2) & 49\cdot 3+9\cdot 4+49\cdot 1 \\[6mm] 0\cdot 1+4\cdot 0+25\cdot (-2) & 0\cdot 3+4\cdot 4+25\cdot 1 \end{pmatrix}. \] Calculamos cada entrada: - Entrada (1,1): \[ 49\cdot 1 + 9\cdot 0 + 49\cdot(-2)= 49 + 0 - 98 = -49. \] - Entrada (1,2): \[ 49\cdot 3 + 9\cdot4 + 49\cdot1 = 147 + 36 + 49 = 232. \] - Entrada (2,1): \[ 0\cdot 1+ 4\cdot 0+ 25\cdot(-2)= 0 + 0 -50 = -50. \] - Entrada (2,2): \[ 0\cdot 3+ 4\cdot4+25\cdot1= 0+16+25= 41. \] Por lo tanto: \[ c\cdot D = \begin{pmatrix} -49 & 232 \\ -50 & 41 \end{pmatrix}. \] \[ \textbf{Paso 4. Calcular la traspuesta } (c\cdot D)^t. \] La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando filas por columnas: \[ (c\cdot D)^t = \begin{pmatrix} -49 & -50 \\ 232 & 41 \end{pmatrix}. \] \[ \textbf{Paso 5. Sumar la matriz } A. \] Recordamos: \[ A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 3 & -3\end{pmatrix}. \] La suma de matrices se hace entrada a entrada: \[ (c\cdot D)^t + A = \begin{pmatrix} -49+2 & -50+1 \\ 232+3 & 41+(-3) \end{pmatrix}. \] Realizando las sumas: - Primera fila, primera entrada: \(-49+2=-47\). - Primera fila, segunda entrada: \(-50+1=-49\). - Segunda fila, primera entrada: \(232+3=235\). - Segunda fila, segunda entrada: \(41-3=38\). Así se tiene: \[ (c\cdot D)^t + A = \begin{pmatrix} -47 & -49 \\ 235 & 38 \end{pmatrix}. \] \[ \boxed{\begin{pmatrix} -47 & -49 \\ 235 & 38 \end{pmatrix}} \]