\( C(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \) Probar que el limitede \( C(x, y) \) cuando \( (x, y) \) se acerca al origen \( (\theta, \theta) \) no existe

Para probar que el límite de \( C(x, y) \) cuando \( (x, y) \) se acerca al origen \( (0, 0) \) no existe, evaluaremos el límite a lo largo de diferentes trayectorias y mostraremos que los resultados son diferentes. La función dada es: \[ C(x, y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \] ### Paso 1: Evaluar el límite a lo largo de la trayectoria \( y = 0 \) Si tomamos la trayectoria donde \( y = 0 \): \[ C(x, 0) = \frac{x^{2} - 0^{2}}{x^{2} + 0^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1 \] Por lo tanto, cuando \( (x, y) \) se acerca a \( (0, 0) \) a lo largo de esta trayectoria, el límite es: \[ \lim_{x \to 0} C(x, 0) = 1 \] ### Paso 2: Evaluar el límite a lo largo de la trayectoria \( x = 0 \) Ahora tomamos la trayectoria donde \( x = 0 \): \[ C(0, y) = \frac{0^{2} - y^{2}}{0^{2} + y^{2}} = \frac{-y^{2}}{y^{2}} = -1 \] Por lo tanto, cuando \( (x, y) \) se acerca a \( (0, 0) \) a lo largo de esta trayectoria, el límite es: \[ \lim_{y \to 0} C(0, y) = -1 \] ### Paso 3: Conclusión Hemos encontrado que: - A lo largo de la trayectoria \( y = 0 \), el límite es \( 1 \). - A lo largo de la trayectoria \( x = 0 \), el límite es \( -1 \). Dado que los límites son diferentes dependiendo de la trayectoria que tomamos para acercarnos al origen, podemos concluir que el límite de \( C(x, y) \) cuando \( (x, y) \) se acerca a \( (0, 0) \) no existe.