4. Analizar la convergencia de las siguientes series utilizando, si es necesario, los criterios de com- paración \( \begin{array}{llll}\text { (a) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{3^{n}+2} & \text { (b) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}-1} & \text { (c) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+2}} & \text { (d) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{1+n^{3}} \\ \text { (e) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{6}+2} & \text { (f) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{4} n}{2^{n}} & \text { (g) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+3^{n}}\end{array} \)

Claro, analicemos la convergencia de cada una de las series utilizando criterios de comparación y otros métodos apropiados. ### (a) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{3^{n} + 2}\) **Análisis:** Para \( n \) grande, \( 3^n + 2 \) es aproximadamente \( 3^n \). Por lo tanto: \[ \frac{8}{3^n + 2} \leq \frac{8}{3^n} \] La serie comparativa \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{3^n}\) es una serie geométrica con razón \( r = \frac{1}{3} < 1 \), que converge. **Conclusión:** La serie **converge** por el criterio de comparación con una serie geométrica convergente. ### (b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n} - 1}\) **Análisis:** Para \( n \geq 1 \), \( 3^n - 1 \geq \frac{3^n}{2} \) (porque \( 3^n - 1 \geq \frac{3^n}{2} \) para \( n \geq 1 \)). \[ \frac{1}{3^n - 1} \leq \frac{2}{3^n} \] La serie comparativa \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n}\) es geométrica con razón \( r = \frac{1}{3} < 1 \), que converge. **Conclusión:** La serie **converge** por el criterio de comparación con una serie geométrica convergente. ### (c) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 2}}\) **Análisis:** Para \( n \) grande, \(\sqrt{n + 2}\) es comparable a \(\sqrt{n}\). Consideramos la serie p: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}} \] Aquí, \( p = \frac{1}{2} < 1 \), y sabemos que las series p divergentes cuando \( p \leq 1 \). **Conclusión:** La serie **diverge** por el criterio de comparación con una serie p divergente. ### (d) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{1 + n^{3}}\) **Análisis:** Para \( n \) grande, \( 1 + n^3 \) es aproximadamente \( n^3 \). Por lo tanto: \[ \frac{n}{1 + n^3} \leq \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} \] La serie comparativa \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) es una serie p con \( p = 2 > 1 \), que converge. **Conclusión:** La serie **converge** por el criterio de comparación con una serie p convergente. ### (e) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{6} + 2}\) **Análisis:** Para \( n \) grande, \( n^6 + 2 \) es aproximadamente \( n^6 \). Por lo tanto: \[ \frac{3}{n^6 + 2} \leq \frac{3}{n^6} \] La serie comparativa \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^6}\) es una serie p con \( p = 6 > 1 \), que converge. **Conclusión:** La serie **converge** por el criterio de comparación con una serie p convergente. ### (f) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sen^{4} n}{2^{n}}\) **Análisis:** Sabemos que \( \sen^4 n \leq 1 \) para todo \( n \). Por lo tanto: \[ \frac{\sen^4 n}{2^n} \leq \frac{1}{2^n} \] La serie comparativa \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\) es una serie geométrica con razón \( r = \frac{1}{2} < 1 \), que converge. **Conclusión:** La serie **converge** por el criterio de comparación con una serie geométrica convergente. ### (g) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 3^{n}}\) **Análisis:** Para \( n \) grande, \( 2^n + 3^n \) está dominada por \( 3^n \). Por lo tanto: \[ \frac{1}{2^n + 3^n} \leq \frac{1}{3^n} \] La serie comparativa \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}\) es una serie geométrica con razón \( r = \frac{1}{3} < 1 \), que converge. **Conclusión:** La serie **converge** por el criterio de comparación con una serie geométrica convergente.