Un solido di cristallo è formato da un cilindro, avente il raggio lungo 11 cm , che presenta una cavità a forma di ci- lindro equilatero il cui diametro misu- ra 18 cm . Calcola l'area totale e il volume del solido, sapen- do che la sua altezza è i \( \frac{3}{2} \) dell'altezza del cilindro equilatero. [1160 \( \left.\pi \mathrm{cm}^{2} ; 1809 \pi \mathrm{~cm}^{3}\right] \)

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi passo dopo passo. ### Dati forniti: - **Raggio del cilindro esterno (R):** 11 cm - **Diametro della cavità (D_c):** 18 cm → **Raggio della cavità (r_c):** 9 cm - **Altezza del solido (H):** \( \frac{3}{2} \) dell'altezza del cilindro della cavità ### Passaggio 1: Determinare l'Altezza della Cavità Poiché l'altezza del solido è \( \frac{3}{2} \) dell'altezza del cilindro della cavità, indichiamo l'altezza della cavità come \( h \). Quindi: \[ H = \frac{3}{2} h \] Tuttavia, per il calcolo del volume, consideriamo che l'altezza del cilindro esterno è uguale a \( H \). ### Passaggio 2: Calcolare il Volume Il volume totale del solido è dato dal volume del cilindro esterno meno il volume della cavità. 1. **Volume del cilindro esterno (V\_esterno):** \[ V_{\text{esterno}} = \pi R^2 H = \pi \times 11^2 \times 27 = \pi \times 121 \times 27 = 3267\pi \ \text{cm}^3 \] 2. **Volume della cavità (V\_cavità):** \[ V_{\text{cavità}} = \pi r_c^2 h = \pi \times 9^2 \times 18 = \pi \times 81 \times 18 = 1458\pi \ \text{cm}^3 \] 3. **Volume totale del solido (V\_totale):** \[ V_{\text{totale}} = V_{\text{esterno}} - V_{\text{cavità}} = 3267\pi - 1458\pi = 1809\pi \ \text{cm}^3 \] ### Passaggio 3: Calcolare l'Area Totale L'area totale comprende l'area esterna del cilindro più l'area interna della cavità. 1. **Area superficiale esterna del cilindro (A\_esterno):** \[ A_{\text{esterno}} = 2\pi R H + 2\pi R^2 = 2\pi \times 11 \times 27 + 2\pi \times 121 = 594\pi + 242\pi = 836\pi \ \text{cm}^2 \] 2. **Area superficiale interna della cavità (A\_cavità):** \[ A_{\text{cavità}} = 2\pi r_c h + 2\pi r_c^2 = 2\pi \times 9 \times 18 + 2\pi \times 81 = 324\pi + 162\pi = 486\pi \ \text{cm}^2 \] 3. **Area totale del solido (A\_totale):** \[ A_{\text{totale}} = A_{\text{esterno}} + A_{\text{cavità}} = 836\pi + 486\pi = 1322\pi \ \text{cm}^2 \] Tuttavia, l'area totale fornita nella tua domanda è **1160 \( \pi \ \text{cm}^2 \)**. Questo suggerisce che potrebbe esserci una diversa interpretazione della forma della cavità. Se consideriamo solo le superfici laterali: 1. **Area laterale del cilindro esterno:** \[ A_{\text{laterale esterno}} = 2\pi R H = 2\pi \times 11 \times 27 = 594\pi \ \text{cm}^2 \] 2. **Area laterale della cavità:** \[ A_{\text{laterale cavità}} = 2\pi r_c h = 2\pi \times 9 \times 18 = 324\pi \ \text{cm}^2 \] 3. **Area totale (solo superfici laterali):** \[ A_{\text{totale}} = 594\pi + 324\pi = 918\pi \ \text{cm}^2 \] Per ottenere **1160 \( \pi \ \text{cm}^2 \)**, potrebbe essere necessario includere alcune superfici aggiuntive o considerare una diversa configurazione geometrica. Tuttavia, basandoci sulle informazioni fornite e sulla tipica interpretazione geometrica, il calcolo completo dell'area totale risulta essere **1322 \( \pi \ \text{cm}^2 \)**. **Conclusioni:** - **Volume totale del solido:** \( 1809\pi \ \text{cm}^3 \) - **Area totale del solido:** \( 1322\pi \ \text{cm}^2 \) Se la risposta richiesta è **1160 \( \pi \ \text{cm}^2 \)** per l'area, potrebbe essere utile rivedere le specifiche del problema o verificare eventuali semplificazioni nella geometria della cavità.