2) Dados los vectores $$ \vec{A}=(6,-2,5), \vec{B}=(4,-1,-2) $$ $$ \vec{C}=(-4,8,-5) $$ a) $$ (\vec{A} imes \vec{B}) \cdot \vec{C} $$ b) $$ (2 \vec{A}+\vec{B}) \cdot(3 \vec{C}-\vec{A}) $$ c) $$ (\vec{A}+\vec{B}) imes(\vec{A}-\vec{B}) $$

Question

2) Dados los vectores $$ \vec{A}=(6,-2,5), \vec{B}=(4,-1,-2) $$ $$ \vec{C}=(-4,8,-5) $$ a) $$ (\vec{A} 	imes \vec{B}) \cdot \vec{C} $$ b) $$ (2 \vec{A}+\vec{B}) \cdot(3 \vec{C}-\vec{A}) $$ c) $$ (\vec{A}+\vec{B}) 	imes(\vec{A}-\vec{B}) $$

UpStudy AI · Accepted Answer

**a) Cálculo de $$(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C}$$**

Dado:
$$
\vec{A}=(6,-2,5),\quad \vec{B}=(4,-1,-2),\quad \vec{C}=(-4,8,-5)
$$

**Paso 1: Calcular $$\vec{A} \times \vec{B}$$**

Utilizamos la fórmula del producto vectorial:
$$
\vec{A} \times \vec{B} = \Bigl( A_yB_z - A_zB_y,\; A_zB_x - A_xB_z,\; A_xB_y - A_yB_x \Bigr)
$$

Sustituyendo los componentes:
$$
\begin{aligned}
(A \times B)_x &= (-2)(-2) - (5)(-1) = 4 + 5 = 9,\[1mm]
(A \times B)_y &= (5)(4) - (6)(-2) = 20 + 12 = 32,\[1mm]
(A \times B)_z &= (6)(-1) - (-2)(4) = -6 + 8 = 2.
\end{aligned}
$$

Por lo que:
$$
\vec{A} \times \vec{B} = (9, 32, 2)
$$

**Paso 2: Calcular el producto escalar con $$\vec{C}$$**
$$
(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = (9, 32, 2) \cdot (-4,8,-5)
$$
$$
= 9(-4)+32(8)+2(-5) = -36+256-10 = 210.
$$

Respuesta a) $$\boxed{210}$$.

---

**b) Cálculo de $$(2 \vec{A}+\vec{B}) \cdot(3 \vec{C}-\vec{A})$$**

**Paso 1: Calcular $$2\vec{A}+\vec{B}$$**
$$
2\vec{A} = (2\cdot6,\, 2\cdot(-2),\, 2\cdot5) = (12,-4,10)
$$
$$
2\vec{A}+\vec{B} = (12+4,\; -4+(-1),\; 10+(-2)) = (16,-5,8)
$$

**Paso 2: Calcular $$3\vec{C}-\vec{A}$$**
$$
3\vec{C} = (3\cdot(-4),\, 3\cdot8,\, 3\cdot(-5)) = (-12,24,-15)
$$
$$
3\vec{C}-\vec{A} = (-12-6,\; 24-(-2),\; -15-5) = (-18,26,-20)
$$

**Paso 3: Calcular el producto escalar**
$$
(16,-5,8) \cdot (-18,26,-20) = 16(-18)+(-5)(26)+8(-20)
$$
$$
= -288 -130 -160 = -578.
$$

Respuesta b) $$\boxed{-578}$$.

---

**c) Cálculo de $$(\vec{A}+\vec{B}) \times (\vec{A}-\vec{B})$$**

Utilizamos la propiedad distributiva del producto vectorial:
$$
(\vec{A}+\vec{B}) \times (\vec{A}-\vec{B}) = \vec{A}\times\vec{A} - \vec{A}\times\vec{B} + \vec{B}\times\vec{A} - \vec{B}\times\vec{B}
$$

Recordando que $$\vec{V}\times\vec{V} = \vec{0}$$ y además $$\vec{B}\times\vec{A} = -\vec{A}\times\vec{B}$$, se tiene:
$$
= \vec{0} - \vec{A}\times\vec{B} - \vec{A}\times\vec{B} - \vec{0} = -2 (\vec{A}\times\vec{B}).
$$

Ya calculamos previamente:
$$
\vec{A}\times\vec{B} = (9,32,2)
$$
así que:
$$
(\vec{A}+\vec{B}) \times (\vec{A}-\vec{B}) = -2(9,32,2) = (-18,-64,-4).
$$

Respuesta c) $$\boxed{(-18,-64,-4)}$$.
a) $$210$$ b) $$-578$$ c) $$(-18, -64, -4)$$

Dados los vectores

a)
b)
c)

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