- \( \int_{0}^{4} x^{2}-3 x d x \quad n=8 \) y \( n= \) intervalos

A continuación se muestra cómo resolver la integral   ∫₀⁴ (x² – 3x) dx usando la regla compuesta (por ejemplo, la de Simpson) con n = 8 intervalos, además de calcular su valor exacto. ───────────────────────────── 1. Cálculo Exacto Para encontrar la integral exacta, primero hallamos una antiderivada de f(x) = x² – 3x. Recordemos que:   ∫ x² dx = (x³)/3  y  ∫ (–3x) dx = –(3x²)/2. Por tanto, una antiderivada es   F(x) = (x³)/3 – (3x²)/2. Evaluamos de 0 a 4:   F(4) = (4³)/3 – (3·4²)/2 = (64/3) – (3·16)/2 = (64/3) – 24,   F(0) = 0. El valor exacto de la integral es   ∫₀⁴ (x² – 3x) dx = F(4) – F(0) = (64/3 – 24) = (64 – 72)/3 = –8/3. ───────────────────────────── 2. Aproximación con la Regla de Simpson (n = 8 intervalos) La regla de Simpson para n intervalos (n par) es   S = (Δx/3)[f(x₀) + f(xₙ) + 4 Σ f(x₍₂k₋₁₎) + 2 Σ f(x₍₂k₎)], donde Δx = (b – a)/n. Con a = 0, b = 4 y n = 8, tenemos   Δx = (4 – 0)/8 = 0.5. Definimos los puntos   x₀ = 0, x₁ = 0.5, x₂ = 1.0, x₃ = 1.5, … x₈ = 4.0. Calculamos los valores de f(x) = x² – 3x:   f(0) = 0² – 3·0 = 0.   f(0.5) = (0.5)² – 3·0.5 = 0.25 – 1.5 = –1.25.   f(1.0) = 1 – 3 = –2.   f(1.5) = (2.25) – 4.5 = –2.25.   f(2.0) = 4 – 6 = –2.   f(2.5) = 6.25 – 7.5 = –1.25.   f(3.0) = 9 – 9 = 0.   f(3.5) = 12.25 – 10.5 = 1.75.   f(4.0) = 16 – 12 = 4. Ahora identificamos: • Los puntos de índice par (excluyendo los extremos): x₂, x₄, x₆.   f(1.0) = –2, f(2.0) = –2, f(3.0) = 0. • Los puntos de índice impar: x₁, x₃, x₅, x₇.   f(0.5) = –1.25, f(1.5) = –2.25, f(2.5) = –1.25, f(3.5) = 1.75. Aplicamos la fórmula de Simpson:   S = (0.5/3)[ f(0) + f(4) + 4(f(0.5) + f(1.5) + f(2.5) + f(3.5)) + 2(f(1.0) + f(2.0) + f(3.0) ) ]. Sustituyendo:   S = (0.5/3)[ 0 + 4 + 4(–1.25 – 2.25 – 1.25 + 1.75) + 2(–2 – 2 + 0) ]. Realicemos las sumas intermedias: a) Suma de los impares:   (–1.25) + (–2.25) = –3.5; –3.5 + (–1.25) = –4.75; –4.75 + 1.75 = –3.0. b) Suma de los pares:   (–2) + (–2) + 0 = –4. Ahora, sustituyendo:   S = (0.5/3)[ 4 + 4(–3.0) + 2(–4) ]      = (0.5/3)[ 4 – 12 – 8 ]      = (0.5/3)[ –16 ]      = –8/3. Observamos que la regla de Simpson nos da S = –8/3, coincidendo exactamente con el valor exacto. Esto no es sorprendente ya que Simpson es exacto para polinomios de grado ≤ 3, y f(x) es de grado 2. ───────────────────────────── 3. (Aproximación con la Regla del Trapecio, Opcional) Si se desea comparar, se puede usar la regla del trapecio compuesta. La fórmula es   T = (Δx/2)[ f(x₀) + f(xₙ) + 2 Σ f(xᵢ) (i = 1, …, n – 1) ],   con Δx = 0.5. Ya habiendo calculado los f(xᵢ):   T = (0.5/2)[ f(0) + f(4) + 2(f(0.5) + f(1.0) + f(1.5) + f(2.0) + f(2.5) + f(3.0) + f(3.5) ) ].   T = 0.25[ 0 + 4 + 2( (–1.25) + (–2) + (–2.25) + (–2) + (–1.25) + 0 + 1.75 ) ]. La suma de los valores interiores es:   (–1.25 – 2 – 2.25 – 2 – 1.25 + 0 + 1.75) = –7.0. Luego:   T = 0.25[ 4 + 2(–7) ] = 0.25[ 4 – 14 ] = 0.25(–10) = –2.5. Esta aproximación (–2.5) difiere del valor exacto (–2.6667), con un error de aproximadamente 0.1667. ───────────────────────────── Conclusión • El valor exacto de la integral es –8/3 (aproximadamente –2.667). • Usando la regla de Simpson con n = 8 intervalos se obtiene el valor exacto –8/3. • La regla del trapecio con n = 8 intervalos aproxima la integral como –2.5. Así, si el ejercicio indica evaluar la integral ∫₀⁴ (x² – 3x) dx usando n = 8 intervalos (por ejemplo, mediante Simpson), el resultado es –8/3.