$$ \left. \begin{array} { l } { y ^ { \prime } = 12 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 2 } \ { y ^ { \prime } = 6 x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { y ^ { \prime } = 12 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 2 } \ { y ^ { \prime } = 6 x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el sistema de ecuaciones:

$$
\begin{array}{l}
y' = 12 x^3 - 2 x^2 - 2 \
y' = 6 x^4 - 4 x^3 - 2 x^2
\end{array}
$$

Igualamos ambas expresiones de $$y'$$:

$$
12 x^3 - 2 x^2 - 2 = 6 x^4 - 4 x^3 - 2 x^2
$$

Ahora, simplificamos la ecuación:

1. Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación:

$$
0 = 6 x^4 - 4 x^3 - 2 x^2 - 12 x^3 + 2 x^2 + 2
$$

2. Combinamos términos semejantes:

$$
0 = 6 x^4 - 16 x^3 + 0 x^2 + 2
$$

Esto se simplifica a:

$$
6 x^4 - 16 x^3 + 2 = 0
$$

Ahora, resolveremos esta ecuación polinómica.
Factor the expression by following steps:
- step0: Factor:
  $$6x^{4}-16x^{3}+2$$
- step1: Factor the expression:
  $$2\left(3x^{4}-8x^{3}+1\right)$$
La ecuación se puede factorizar como:

$$
6 x^4 - 16 x^3 + 2 = 2(3x^{4} - 8x^{3} + 1)
$$

Ahora, para resolver $$3x^{4} - 8x^{3} + 1 = 0$$, podemos utilizar métodos numéricos o gráficos, ya que es un polinomio de cuarto grado.

¿Te gustaría que proceda a encontrar las raíces de este polinomio?
Para resolver el sistema de ecuaciones: $$ \begin{array}{l} y' = 12 x^3 - 2 x^2 - 2 \ y' = 6 x^4 - 4 x^3 - 2 x^2 \end{array} $$ Igualamos ambas expresiones de $$y'$$: $$ 12 x^3 - 2 x^2 - 2 = 6 x^4 - 4 x^3 - 2 x^2 $$ Simplificamos: $$ 6 x^4 - 16 x^3 + 2 = 0 $$ Esta ecuación se puede factorizar en: $$ 2(3x^{4} - 8x^{3} + 1) = 0 $$ Las raíces de esta ecuación son las soluciones del sistema original.

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