Junio/23 E_69. Se quiere realizar un estudio sobre la proporción de clubes de fútbol en situación de bancarrota. Como dicha proporción es desconocida, asumimos de principio un valor \( \mathrm{P}=0.5 \). Se pide determinar el número mínimo de clubes que hay que examinar si deseamos calcular un intervalo de confianza para dicha proporción con un nivel confianza del \( 95 \% \) y cuya longitud sea inferior a 0.1 . Razonar la respuesta.

Para determinar el número mínimo de clubes que hay que examinar para calcular un intervalo de confianza para la proporción de clubes de fútbol en situación de bancarrota, utilizaremos la fórmula para el tamaño de la muestra en estimaciones de proporciones. ### Paso 1: Definir los parámetros 1. **Proporción estimada (\( P \))**: Se asume \( P = 0.5 \). 2. **Nivel de confianza**: \( 95\% \), lo que corresponde a un valor crítico \( Z \) de aproximadamente \( 1.96 \) (puede ser encontrado en tablas de la distribución normal). 3. **Longitud del intervalo de confianza**: Queremos que la longitud sea inferior a \( 0.1 \). Esto significa que el margen de error \( E \) debe ser menor que \( 0.05 \) (ya que la longitud total del intervalo es \( 2E \)). ### Paso 2: Fórmula del tamaño de la muestra La fórmula para calcular el tamaño de la muestra \( n \) para estimar una proporción es: \[ n = \left( \frac{Z^2 \cdot P \cdot (1 - P)}{E^2} \right) \] Donde: - \( Z \) es el valor crítico para el nivel de confianza deseado. - \( P \) es la proporción estimada. - \( E \) es el margen de error. ### Paso 3: Sustitución de valores Sustituyendo los valores en la fórmula: - \( Z = 1.96 \) - \( P = 0.5 \) - \( E = 0.05 \) Ahora, calculamos \( n \): \[ n = \left( \frac{(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5)}{(0.05)^2} \right) \] ### Paso 4: Cálculo Procederé a calcular el valor de \( n \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(1.96^{2}\times 0.5\left(1-0.5\right)\right)}{0.05^{2}}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{1.96^{2}\times 0.5\left(1-0.5\right)}{0.05^{2}}\) - step2: Subtract the numbers: \(\frac{1.96^{2}\times 0.5\times 0.5}{0.05^{2}}\) - step3: Convert the expressions: \(\frac{\left(\frac{49}{25}\right)^{2}\times 0.5\times 0.5}{0.05^{2}}\) - step4: Convert the expressions: \(\frac{\left(\frac{49}{25}\right)^{2}\times 0.5\times 0.5}{\left(\frac{1}{20}\right)^{2}}\) - step5: Multiply: \(\frac{\frac{49^{2}}{2500}}{\left(\frac{1}{20}\right)^{2}}\) - step6: Evaluate the power: \(\frac{\frac{49^{2}}{2500}}{\frac{1}{400}}\) - step7: Multiply by the reciprocal: \(\frac{49^{2}}{2500}\times 400\) - step8: Reduce the numbers: \(\frac{49^{2}}{25}\times 4\) - step9: Multiply: \(\frac{49^{2}\times 4}{25}\) - step10: Multiply: \(\frac{9604}{25}\) El cálculo nos da como resultado: \[ n = 384.16 \] ### Paso 5: Redondeo Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos hacia arriba, ya que necesitamos al menos esa cantidad de clubes para asegurar que el intervalo de confianza sea válido. Por lo tanto, el número mínimo de clubes que hay que examinar es: \[ n = 385 \] ### Conclusión Para calcular un intervalo de confianza para la proporción de clubes de fútbol en situación de bancarrota con un nivel de confianza del \( 95\% \) y una longitud inferior a \( 0.1 \), se requiere examinar un mínimo de **385 clubes**.