20. Escreva a lei de formação de uma função de domínio $$ \mathbb{R} $$ que seja crescente em $$ ]-\infty, 0] $$ e decrescente em $$ [0,+\infty[ $$. Em seguida, represente o gráfico dessa função em um plano cartesiano.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Definição da Função**

Podemos definir uma função $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ da seguinte forma:

$$
f(x)=
\begin{cases}
x, & x \leq 0, \
-x, & x \geq 0.
\end{cases}
$$

**Verificação das Propriedades**

1. Para $$ x \leq 0 $$:  
   Temos $$ f(x)=x $$, que é uma função linear crescente, pois se $$ x_1 < x_2 $$ então $$ f(x_1) < f(x_2) $$.

2. Para $$ x \geq 0 $$:  
   Temos $$ f(x)=-x $$, que é uma função linear decrescente, pois se $$ x_1 < x_2 $$ então $$ f(x_1) > f(x_2) $$.

3. Continuidade no ponto de transição ($$ x=0 $$):  
   Observamos que:
   $$
   \lim_{x \to 0^-} f(x)=0 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0^+} f(x)=0,
   $$
   o que garante que $$ f(0)=0 $$ e que a função é contínua em $$ x=0 $$.

**Gráfico**

No plano cartesiano, o gráfico de $$ f $$ é composto por:

- A reta $$ f(x)=x $$ para $$ x \leq 0 $$:  
  Essa reta passa pela origem e se estende para a esquerda com inclinação $$ 1 $$.

- A reta $$ f(x)=-x $$ para $$ x \geq 0 $$:  
  Essa reta também passa pela origem e se estende para a direita com inclinação $$ -1 $$.

Representação aproximada do gráfico:

```
         |
      2  |         /
         |        /
      1  |       /
         |      /
    f(x) |-----0----- 
         |    \
     -1  |     \
         |      \
         |       \
     -2  |        \
         |
         ------------------
         -2  -1   0   1   2
```

No gráfico acima, a reta que sobe para a esquerda representa $$ f(x)=x $$ para $$ x \leq 0 $$ e a reta que desce para a direita representa $$ f(x)=-x $$ para $$ x \geq 0 $$.
**Definição da Função** Uma função $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ que é crescente em $$ ]-\infty, 0] $$ e decrescente em $$ [0,+\infty[ $$ pode ser definida como: $$ f(x) = \begin{cases} x, & \text{se } x \leq 0, \ -x, & \text{se } x \geq 0. \end{cases} $$ **Gráfico da Função** No plano cartesiano, o gráfico da função $$ f(x) $$ é composto por duas retas: 1. **Para $$ x \leq 0 $$:** A reta $$ f(x) = x $$ passa pela origem e se estende para a esquerda com inclinação positiva. 2. **Para $$ x \geq 0 $$:** A reta $$ f(x) = -x $$ passa pela origem e se estende para a direita com inclinação negativa. Representação do gráfico: ``` | 2 | / | / 1 | / | / f(x) |-----0----- | \ -1 | \ | \ | \ -2 | \ | ------------------ -2 -1 0 1 2 ``` Neste gráfico, a reta que sobe para a esquerda representa $$ f(x) = x $$ para $$ x \leq 0 $$, e a reta que desce para a direita representa $$ f(x) = -x $$ para $$ x \geq 0 $$.

Escreva a lei de formação de uma função de domínio que seja crescente em e decrescente
em . Em seguida, represente o gráfico dessa função em um plano cartesiano.

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Escreva a lei de formação de uma função de domínio que seja crescente em e decrescente em . Em seguida, represente o gráfico dessa função em um plano cartesiano.