En los siguientes incisos, expliquen por qué la integral es impropia, ana- licen si se le puede asignar un valor \( y \), cuando corresponda, indiquen cuál es ese valor. \( \begin{array}{llll}\text { a) } \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x & \text { b) } \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x & \text { c) } \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x & \text { d) } \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x\end{array} \)

La primera integral, \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx \), es impropia porque uno de sus límites de integración es infinito. Esto significa que estamos evaluando el comportamiento de la función \( \frac{1}{x} \) a medida que \( x \) se acerca a \( +\infty \). Al calcular el límite, encontramos que \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} [\ln(t) - \ln(1)] = +\infty \). Por lo tanto, no se le puede asignar un valor finito. En cuanto a la integral \( \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} dx \), también es impropia porque el límite inferior es \( -\infty \). Sin embargo, aquí debemos notar que la función está definida en el intervalo \( (-\infty, 0) \) ya que \( \frac{1}{(x-1)^{2}} \) no presenta discontinuidades en ese rango. Al calcular la integral, se evalúa el límite y se obtiene \( \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(x-1)^{2}} dx = 1 \) después de un cambio de variable efectivo, así que sí tiene un valor finito. Para la integral \( \int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx \), también es impropia debido al límite superior infinito. Sin embargo, \( e^{-x} \) tiende a 0 cuando \( x \) se acerca a \( +\infty \), lo que implica que la integral converge. Al calcularla, tenemos \( \int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx = 1 \); así que podemos asignarle este valor. Finalmente, la integral \( \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} dx \) se analiza como impropia en ambos extremos. Sin embargo, la función \( x e^{-x^{2}} \) es una función impar, es decir, \( f(-x) = -f(x) \). Esto implica que la integral desde \( -\infty \) hasta \( \infty \) se cancela. Por lo tanto, \( \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} dx = 0 \), asignando así un valor a esta integral.