Determine o conjunto dos pontos nos quais a função \( f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{2 x+1} \) é contínua.

Para determinar os pontos nos quais a função \( f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{2 x+1} \) é contínua, precisamos verificar se a função é definida e se o limite da função existe em cada ponto. A função \( f(x) \) é definida para todos os valores de \( x \) exceto quando \( 2x+1=0 \), pois a função não pode ter um denominador igual a zero. Portanto, a função é definida para todos os valores de \( x \) exceto \( x=-\frac{1}{2} \). Agora, precisamos verificar se o limite da função existe em cada ponto. Para isso, vamos calcular o limite da função em cada ponto. 1. Limite em \( x=-\frac{1}{2} \): - A função não é definida em \( x=-\frac{1}{2} \), pois o denominador é igual a zero. - Portanto, o limite da função em \( x=-\frac{1}{2} \) não existe. 2. Limite em \( x=a \), onde \( a \) é um número real: - A função é definida em \( x=a \), pois o denominador não é igual a zero. - Vamos calcular o limite da função em \( x=a \): \[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{2 x+1} \] \[ = \frac{\sqrt{a^{2}-1}}{2a+1} \] Portanto, a função \( f(x) \) é contínua em todos os pontos, exceto em \( x=-\frac{1}{2} \), onde o limite da função não existe.