\( \begin{array}{l} \text { (il) }\\ \begin{array}{l} 121 \frac{x+2}{\sqrt{-x^{2}-4 x}} d x \\ -x-4 x=-(x+2)^{2}+4=4-(x+2)^{2} \\ \int \frac{x+2}{\sqrt{4-(x+2)^{2}}} d x \\ u^{2}=(x+2)^{2} \quad a^{2}=4 \quad a=2 \end{array}\\ \begin{array}{l} \int \frac{u}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} d u \\ \left.\begin{array}{rl} T=-u^{2} \\ \begin{array}{rl} d t & d u \end{array}=-\frac{d T}{-2 u} \end{array}\right\}=\int \frac{4 t}{\sqrt{c^{2}-T}}-\frac{d T}{2 u t} \\ \equiv \frac{1}{2} \int\left(a^{2}-T\right)^{\frac{1}{2}} d T \\ =-\frac{1}{2}\left(2\left(a^{2}-T\right)^{\frac{1}{2}}\right) \\ =-\sqrt{a^{2}-T}+c \\ =-\sqrt{4-(x+2)^{2}}+c \end{array} \end{array} \)

Para resolver la integral dada, sigamos los pasos que se presentan en el problema. 1. **Identificación de la integral**: La integral que queremos resolver es: \[ \int \frac{x+2}{\sqrt{4-(x+2)^{2}}} \, dx \] 2. **Sustitución**: Hacemos la sustitución \( u = x + 2 \). Entonces, \( du = dx \) y la integral se convierte en: \[ \int \frac{u}{\sqrt{4 - u^2}} \, du \] 3. **Identificación de la forma**: Esta integral tiene la forma: \[ \int \frac{u}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du \] donde \( a = 2 \). 4. **Uso de la fórmula**: La integral se puede resolver usando la fórmula: \[ \int \frac{u}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du = -\sqrt{a^2 - u^2} + C \] Aplicando esto, obtenemos: \[ -\sqrt{4 - u^2} + C \] 5. **Volver a la variable original**: Sustituyendo \( u = x + 2 \) de nuevo, tenemos: \[ -\sqrt{4 - (x + 2)^2} + C \] 6. **Resultado final**: Por lo tanto, la solución de la integral es: \[ -\sqrt{4 - (x + 2)^2} + C \] Esto concluye la resolución de la integral.