A) \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9 x+18}{x^{2}-2 x-3} \) B) \( \lim _{x \rightarrow-5} \frac{x^{2}-10}{2 x^{2}+15 x+25} \) C) \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}+4 x+3}{x^{2}+5 x+6} \) D) \( \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-2 x}{x^{3}-4 x} \) E) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\sqrt{x-5}} \) F) \( \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} \) G) \( \lim _{x \rightarrow-2} \frac{\sqrt{11+x}-3}{x+2} \)

A continuación se muestran los desarrollos y respuestas de cada inciso: ───────────────────────────── A) Límite: limₓ→3 (x² – 9x + 18)/(x² – 2x – 3) 1. Factorizamos:   Numerador: x² – 9x + 18 = (x – 3)(x – 6)   Denominador: x² – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1) 2. Cancelamos el factor común (x – 3) (recordando que x ≠ 3):   La expresión se reduce a (x – 6)/(x + 1) 3. Evaluamos en x = 3:   (3 – 6)/(3 + 1) = (–3)/4 Respuesta A: –3/4 ───────────────────────────── B) Límite: limₓ→–5 (x² – 10)/(2x² + 15x + 25) 1. Factorizamos el denominador:   2x² + 15x + 25 = (2x + 5)(x + 5) 2. Al evaluar en x = –5:   Numerador: (–5)² – 10 = 25 – 10 = 15 (no se anula)   Denominador: (2(–5) + 5)(–5 + 5) = (–10 + 5)·0 = –5·0 = 0 3. Debido a que la función se comporta como 15/[–5(x + 5)] cerca de x = –5, se obtiene un infinito:   Si x se acerca a –5 por la derecha (x + 5 > 0), el cociente tiende a –∞.   Si x se acerca a –5 por la izquierda (x + 5 < 0), el cociente tiende a +∞. Respuesta B: El límite no existe (debido a la diferencia de comportamiento lateral). ───────────────────────────── C) Límite: limₓ→–3 (x² + 4x + 3)/(x² + 5x + 6) 1. Factorizamos:   Numerador: x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)   Denominador: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 2. Cancelamos el factor común (x + 3) (x ≠ –3):   La expresión quedará: (x + 1)/(x + 2) 3. Evaluamos en x = –3:   (–3 + 1)/(–3 + 2) = (–2)/(–1) = 2 Respuesta C: 2 ───────────────────────────── D) Límite: limₓ→–2 (x² – 2x)/(x³ – 4x) 1. Factorizamos ambos términos:   Numerador: x² – 2x = x(x – 2)   Denominador: x³ – 4x = x(x² – 4) = x(x – 2)(x + 2) 2. Cancelamos los factores comunes x y (x – 2) (recordando que x ≠ 0 ni 2):   La expresión queda: 1/(x + 2) 3. Al evaluar en x = –2:   1/(–2 + 2) = 1/0, lo que indica una indeterminación infinita. 4. Analizando las aproximaciones:   – Cuando x se acerca a –2 por la derecha, (x + 2) es positivo (número pequeño positivo) → el cociente tiende a +∞.   – Cuando x se acerca a –2 por la izquierda, (x + 2) es negativo → el cociente tiende a –∞. Respuesta D: El límite no existe (ya que los laterales divergen). ───────────────────────────── E) Límite: limₓ→0 x²/√(x – 5) Observación fundamental: La función √(x – 5) está definida en los números reales únicamente cuando x – 5 ≥ 0, es decir, x ≥ 5. Al acercarse x a 0, el radicando es negativo y la raíz no está definida en ℝ. Respuesta E: No está definido (la expresión no tiene sentido en ℝ para x cercanos a 0). ───────────────────────────── F) Límite: limₓ→4 (√(x + 5) – 3)/(x – 4) 1. Al evaluar directamente en x = 4 se obtiene: (√(9) – 3)/(4 – 4) = (3 – 3)/0 = 0/0, indeterminación. 2. Se puede usar la idea del cociente incremental o derivada. Observa que este límite corresponde a la derivada de f(x) = √(x + 5) en x = 4:   f'(x) = 1/(2√(x + 5)), de modo que f'(4) = 1/(2√9) = 1/(2·3) = 1/6. 3. Alternativamente, se puede multiplicar por el conjugado:   Multiplicamos numerador y denominador por √(x + 5) + 3:   [(√(x + 5) – 3)(√(x + 5) + 3)]/[(x – 4)(√(x + 5) + 3)] = ((x + 5) – 9)/[(x – 4)(√(x + 5) + 3)] = (x – 4)/[(x – 4)(√(x + 5) + 3)] = 1/(√(x + 5) + 3)   Luego, evaluando en x = 4 se tiene: 1/(√(9) + 3) = 1/(3 + 3) = 1/6. Respuesta F: 1/6 ───────────────────────────── G) Límite: limₓ→–2 (√(11 + x) – 3)/(x + 2) 1. Al evaluar en x = –2: √(11 – 2) – 3 = √9 – 3 = 3 – 3 = 0, y el denominador es 0; se obtiene 0/0. 2. Se puede reconocer que este límite es la derivada de f(x) = √(11 + x) en x = –2:   f'(x) = 1/(2√(11 + x)), por lo que en x = –2 se tiene: f'(–2) = 1/(2√9) = 1/(2·3) = 1/6. 3. Alternativamente, se sigue el mismo procedimiento que en el inciso F. Respuesta G: 1/6 ───────────────────────────── Respuestas finales: A) –3/4 B) No existe (los límites laterales divergen: uno tiende a +∞ y el otro a –∞) C) 2 D) No existe (el límite diverge) E) No está definido (la raíz √(x – 5) solo tiene sentido para x ≥ 5) F) 1/6 G) 1/6