1. Considere los puntos del plano \( A=\binom{-1}{3}, B=\binom{250}{4} \) y \( C=\binom{1004}{7} \). (a) Verifique que \( A, B \) y \( C \) no son colineales. (b) ¿Pertenece el punto \( D=\binom{1002}{7} \) al triángulo \( \Delta(A B C) \) ? Justifique la respuesta. 2. Considere los puntos del plano \( A=\binom{-1}{6}, B=\binom{-4}{2} \) y \( C=\binom{3}{3} \). (a) Verifique que los puntos \( A, B \) y \( C \) no son colineales. (b) Verifique que el triángulo \( \Delta(A B C) \) es isósceles. (c) Halle una ecuación general de la bisectriz del ángulo con vértice \( A \). (d) Halle una ecuación general de la mediatriz del lado \( \overline{A B} \).

Para resolver los problemas planteados, procederemos paso a paso. ### Problema 1 #### (a) Verifique que \( A, B \) y \( C \) no son colineales. Para verificar que los puntos \( A, B \) y \( C \) no son colineales, podemos calcular el área del triángulo formado por estos puntos. Si el área es diferente de cero, los puntos no son colineales. La fórmula para el área \( A \) de un triángulo dado por los puntos \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) y \( C(x_3, y_3) \) es: \[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Sustituyendo los puntos \( A(-1, 3) \), \( B(250, 4) \) y \( C(1004, 7) \): \[ A = \frac{1}{2} \left| -1(4 - 7) + 250(7 - 3) + 1004(3 - 4) \right| \] Calculamos cada término: 1. \( -1(4 - 7) = -1(-3) = 3 \) 2. \( 250(7 - 3) = 250(4) = 1000 \) 3. \( 1004(3 - 4) = 1004(-1) = -1004 \) Ahora sumamos: \[ A = \frac{1}{2} \left| 3 + 1000 - 1004 \right| = \frac{1}{2} \left| -1 \right| = \frac{1}{2} \] Dado que el área es diferente de cero, concluimos que los puntos \( A, B \) y \( C \) no son colineales. #### (b) ¿Pertenece el punto \( D=\binom{1002}{7} \) al triángulo \( \Delta(A B C) \)? Para determinar si el punto \( D \) pertenece al triángulo \( \Delta(A B C) \), podemos usar el mismo método del área. Calcularemos el área de los triángulos \( \Delta ADB \), \( \Delta BDC \) y \( \Delta ADC \) y compararemos la suma de estas áreas con el área del triángulo \( \Delta ABC \). 1. **Área de \( \Delta ADB \)**: \[ A_{ADB} = \frac{1}{2} \left| -1(4 - 7) + 250(7 - 3) + 1002(3 - 4) \right| \] Calculamos: \[ A_{ADB} = \frac{1}{2} \left| 3 + 1000 - 1002 \right| = \frac{1}{2} \left| 1 \right| = \frac{1}{2} \] 2. **Área de \( \Delta BDC \)**: \[ A_{BDC} = \frac{1}{2} \left| 250(7 - 7) + 1004(7 - 4) + 1002(4 - 7) \right| \] Calculamos: \[ A_{BDC} = \frac{1}{2} \left| 0 + 1004(3) - 1002(3) \right| = \frac{1}{2} \left| 6 \right| = 3 \] 3. **Área de \( \Delta ADC \)**: \[ A_{ADC} = \frac{1}{2} \left| -1(7 - 3) + 1004(3 - 3) + 1002(3 - 7) \right| \] Calculamos: \[ A_{ADC} = \frac{1}{2} \left| -1(4) + 0 - 1002(4) \right| = \frac{1}{2} \left| -4 - 4008 \right| = \frac{1}{2} \left| -4012 \right| = 2006 \] Ahora sumamos las áreas de \( \Delta ADB \), \( \Delta BDC \) y \( \Delta ADC \): \[ A_{ADB} + A_{BDC} + A_{ADC} = \frac{1}{2} + 3 + 2006 = 2009.5 \] Dado que \( A_{ABC} = \frac{1}{2} \) y \( A_{ADB} + A_{BDC} + A_{ADC} \neq A_{ABC} \), el punto \( D \) no pertenece al triángulo \( \Delta(A B C) \). ### Problema 2 #### (a) Verifique que los puntos \( A, B \) y \( C \) no son colineales. Usamos la misma fórmula del área del triángulo: \[ A = \frac{1}{2} \left| -1(2 - 3) + (-4)(3 - 6) + 3(6 - 2) \right| \] Calculamos: 1. \( -1(2 - 3) = -1(-1) = 1 \) 2. \( -4(3 - 6) = -4(-3) = 12 \) 3. \( 3(6 - 2) = 3(4) = 12 \) Sumamos: \[ A = \frac{1}{2} \left| 1 + 12 + 12 \right| = \frac{1}{2} \left| 25 \right| = 12.5 \] Dado que el área es diferente de cero, los puntos \( A, B \) y \( C \) no son colineales. #### (b) Verifique que el triángulo \( \Delta(A B C) \) es isósceles. Calculamos las distancias entre los puntos: 1. \( AB = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 2. \( AC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) 3. \( BC = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (2