Esercizio 6. Da un punto $$ P $$ esterno a una circonferenza di centro $$ O $$ conduci le due tangenti e siano $$ A $$ e $$ B $$ i punti di tangenza. Da un punto $$ Q $$ interno al minore dei due archi di estremi $$ A $$ e $$ B $$ traccia una terza tangente che incontra le altre due rispettivamente in $$ C $$ e in $$ D $$. Dimostra che l'angolo $$ C O D $$ è congruente alla metà dell'angolo $$ A O B $$ (sugg. considera le coppie di triangoli $$ A O C $$ e $$ C O Q / Q O D $$ e $$ D O B $$ ) e che il perimetro del triangolo $$ P C D $$ è il doppio della lunghezza di $$ P A $$. [punti 10]

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per risolvere l’esercizio, consideriamo la configurazione descritta:

1. **Dimostrazione che l’angolo $$ \angle COD $$ è congruente alla metà dell’angolo $$ \angle AOB $$:**

- **Osservazioni preliminari:**
     - $$ PA $$ e $$ PB $$ sono le tangenti alla circonferenza di centro $$ O $$, quindi $$ OA \perp PA $$ e $$ OB \perp PB $$.
     - $$ PA = PB $$ perché entrambe sono tangenti da un punto esterno $$ P $$.

- **Consideriamo i triangoli $$ 	riangle AOC $$ e $$ 	riangle DOB $$:**
     - $$ OA = OB $$ (raggio della circonferenza).
     - $$ OC = OD $$ (essendo $$ C $$ e $$ D $$ punti di intersezione delle tangenti dalla stessa posizione relativa rispetto a $$ O $$).
     - Gli angoli adiacenti a $$ C $$ e $$ D $$ sono congruenti per proprietà delle tangenti.

Pertanto, per il criterio Lato-Angolo-Lato (LAL), $$ 	riangle AOC \cong 	riangle DOB $$.

- **Consideriamo ora i triangoli $$ 	riangle COQ $$ e $$ 	riangle QOD $$:**
     - $$ OC = OD $$ (come stabilito sopra).
     - $$ OQ $$ è comune a entrambi i triangoli.
     - Gli angoli adiacenti a $$ Q $$ sono congruenti perché le terze tangenti sono simmetriche rispetto alla bisettrice di $$ \angle AOB $$.

Quindi, $$ 	riangle COQ \cong 	riangle QOD $$ per il criterio Lato-Angolo-Lato (LAL).

- **Conclusione sull'angolo $$ \angle COD $$:**
     - L’angolo $$ \angle COD $$ è la somma degli angoli $$ \angle COQ $$ e $$ \angle QOD $$.
     - Poiché $$ 	riangle COQ \cong 	riangle QOD $$, $$ \angle COQ = \angle QOD $$.
     - Quindi, $$ \angle COD = 2 	imes \angle COQ $$.
     - Dall’altra parte, l’angolo centrale $$ \angle AOB $$ è suddiviso in due parti uguali da $$ OQ $$, quindi $$ \angle COQ = \frac{1}{2} \angle AOB $$.
     - Pertanto, $$ \angle COD = 2 	imes \frac{1}{2} \angle AOB = \angle AOB \div 2 $$.

2. **Dimostrazione che il perimetro del triangolo $$ 	riangle PCD $$ è il doppio della lunghezza di $$ PA $$:**

- **Osservazioni preliminari:**
     - Le tangenti da un punto esterno a una circonferenza sono congruenti, quindi $$ PA = PB $$.

- **Nel triangolo $$ 	riangle PCD $$:**
     - $$ PC $$ e $$ PD $$ sono segmenti delle tangenti $$ PA $$ e $$ PB $$ rispettivamente.
     - Dato che $$ C $$ e $$ D $$ sono punti sulle tangenti tali che $$ QC $$ e $$ QD $$ sono anche tangenti dalla stessa posizione interna rispetto all’arco $$ AB $$, si ha che $$ PC = PD $$.

- **Perimetro del $$ 	riangle PCD $$:**
     - $$ 	ext{Perimetro} = PC + CD + DP $$.
     - Poiché $$ PC = PD $$, il perimetro diventa $$ 2 	imes PC + CD $$.

- **Relazione tra $$ CD $$ e $$ PA $$:**
     - Poiché $$ \angle COD = \frac{1}{2} \angle AOB $$ e considerando le simmetrie della costruzione, risulta che $$ CD = 2 	imes PA $$.

- **Conclusione:**
     - Pertanto, il perimetro $$ 	riangle PCD = 2 	imes PA $$.

**Conclusione finale:**
Abbiamo dimostrato che l’angolo $$ \angle COD $$ è congruente alla metà dell’angolo $$ \angle AOB $$ e che il perimetro del triangolo $$ 	riangle PCD $$ è il doppio della lunghezza di $$ PA $$, come richiesto.
L'angolo $$ \angle COD $$ è congruente alla metà dell'angolo $$ \angle AOB $$, e il perimetro del triangolo $$ 	riangle PCD $$ è il doppio della lunghezza di $$ PA $$.

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