[Resuelto]: 3. x^2geq12x-27

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1. Rewrite the inequality in standard form:
   
   \[
   x^{2} \geq 12x - 27 \quad \Rightarrow \quad x^{2} - 12x + 27 \geq 0
   \]

2. Solve the quadratic equation:
   
   \[
   x^{2} - 12x + 27 = 0
   \]
   
   Use the quadratic formula:

\[
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
   \]
   
   Here, \( a = 1 \), \( b = -12 \), and \( c = 27 \). Substitute these values:

\[
   x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}
   \]
   
   \[
   x = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2}
   \]
   
   This gives the roots:

\[
   x = \frac{12 + 6}{2} = 9 \quad \text{and} \quad x = \frac{12 - 6}{2} = 3
   \]

3. Analyze the quadratic inequality:
   
   The quadratic \( x^{2} - 12x + 27 \) factors as:
   
   \[
   (x - 3)(x - 9) \geq 0
   \]
   
   The roots \( x = 3 \) and \( x = 9 \) divide the number line into three intervals:
   
   - \( x < 3 \)
   - \( 3 \leq x \leq 9 \)
   - \( x > 9 \)
   
   Since the coefficient of \( x^{2} \) is positive, the parabola opens upward. This means:
   
   - For \( x < 3 \), both factors are negative, making their product positive.
   - For \( 3 < x < 9 \), one factor is positive and the other negative, making the product negative.
   - For \( x > 9 \), both factors are positive, making their product positive.
   
   Also, at \( x = 3 \) and \( x = 9 \), the expression equals zero, which satisfies the inequality.

4. Write the solution:
   
   \[
   (-\infty, 3] \cup [9, \infty)
   \]

Hogar Banco de preguntas Matemáticas Álgebra

Pregunta

Ask by Wheeler Campbell. in the United States

Mar 27,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The solution to the inequality

is all real numbers less than or equal to 3 and greater than or equal to 9.

Solución

Rewrite the inequality in standard form:
Solve the quadratic equation:

Use the quadratic formula:

Here, , , and . Substitute these values:

This gives the roots:
Analyze the quadratic inequality:

The quadratic factors as:

The roots and divide the number line into three intervals:
Since the coefficient of is positive, the parabola opens upward. This means:
- For , both factors are negative, making their product positive.
- For , one factor is positive and the other negative, making the product negative.
- For , both factors are positive, making their product positive.
Also, at and , the expression equals zero, which satisfies the inequality.
Write the solution:

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Como

error msg

Explicar

Simplifique esta solución

Bonus Knowledge

To solve the inequality

, we first rearrange it into standard form:

. Next, we find the roots of the corresponding equation

using the quadratic formula, yielding

. These roots divide the number line into intervals. We test these intervals to determine where the inequality holds true. Ultimately, the solution is

To visualize this solution set, imagine a number line with points at

and

. Everything to the left of the first point and everything to the right of the second point satisfies the inequality. This is a great way to see how quadratic inequalities create a range of solutions!

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