тчка $$ K $$ - середина стороны $$ E F $$ треугольника $$ E F P $$, а точки $$ S $$ и $$ T $$ делят торону $$ F P $$ на три равные части: $$ F S=S T=T P $$. Найди $$ S_{ riangle K S T} $$, если $$ riangle E F P=48 $$.

Question

тчка $$ K $$ - середина стороны $$ E F $$ треугольника $$ E F P $$, а точки $$ S $$ и $$ T $$ делят торону $$ F P $$ на три равные части: $$ F S=S T=T P $$. Найди $$ S_{	riangle K S T} $$, если $$ 	riangle E F P=48 $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

Для нахождения площади треугольника $$ KST $$ начнем с анализа треугольника $$ EFP $$.

1. **Определим координаты точек**:
   - Пусть $$ E(0, 0) $$, $$ F(a, 0) $$, $$ P(b, c) $$.
   - Площадь треугольника $$ EFP $$ можно вычислить по формуле:
     $$
     S_{\triangle EFP} = \frac{1}{2} \cdot |a \cdot c| = 48.
     $$
     Отсюда получаем:
     $$
     a \cdot c = 96.
     $$

2. **Находим координаты точки $$ K $$**:
   - Точка $$ K $$ - середина стороны $$ EF $$:
     $$
     K\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = K\left(\frac{a}{2}, 0\right).
     $$

3. **Находим координаты точек $$ S $$ и $$ T $$**:
   - Точки $$ S $$ и $$ T $$ делят сторону $$ FP $$ на три равные части. Для этого найдем координаты $$ S $$ и $$ T $$:
     - Координаты точки $$ S $$:
     $$
     S\left(\frac{2b + a}{3}, \frac{2c}{3}\right).
     $$
     - Координаты точки $$ T $$:
     $$
     T\left(\frac{b + 2a}{3}, \frac{c}{3}\right).
     $$

4. **Находим площадь треугольника $$ KST $$**:
   - Площадь треугольника $$ KST $$ можно найти по формуле:
     $$
     S_{\triangle KST} = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|,
     $$
     где $$ K(x_1, y_1) $$, $$ S(x_2, y_2) $$, $$ T(x_3, y_3) $$.

Подставим координаты:
   - $$ K\left(\frac{a}{2}, 0\right) $$
   - $$ S\left(\frac{2b + a}{3}, \frac{2c}{3}\right) $$
   - $$ T\left(\frac{b + 2a}{3}, \frac{c}{3}\right) $$

Подставляем в формулу:
   $$
   S_{\triangle KST} = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{a}{2}\left(\frac{2c}{3} - \frac{c}{3}\right) + \frac{2b + a}{3}\left(\frac{c}{3} - 0\right) + \frac{b + 2a}{3}\left(0 - \frac{2c}{3}\right) \right|.
   $$

Упрощаем:
   $$
   = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{a}{2} \cdot \frac{c}{3} + \frac{(2b + a)c}{9} - \frac{(b + 2a)2c}{9} \right|.
   $$
   $$
   = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{ac}{6} + \frac{(2b + a)c - (2b + 4a)c}{9} \right|.
   $$
   $$
   = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{ac}{6} - \frac{3ac}{9} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{ac}{6} - \frac{ac}{3} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{ac}{6} - \frac{2ac}{6} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left| -\frac{ac}{6} \right| = \frac{ac}{12}.
   $$

Подставляем $$ ac = 96 $$:
   $$
   S_{\triangle KST} = \frac{96}{12} = 8.
   $$

Таким образом, площадь треугольника $$ KST $$ равна $$ 8 $$.

Ответ: $$ S_{\triangle KST} = 8 $$.
Площадь треугольника $$ KST $$ равна $$ 8 $$.

тчка \( K \) - середина стороны \( E F \) треугольника \( E F P \), а точки \( S \) и \( T \) делят торону \( F P \) на три равные части: \( F S=S T=T P \). Найди \( S_{\triangle K S T} \), если \( \triangle E F P=48 \).

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions