Situación 2. La tasa de producción de una fabrica está dada por la función $$ R(t)=20 $$-t, donde tes el tiempo en horas y $$ R(t) $$ es la cantidad de productos fabricados por hora. Queremos calcular la producciön total que se fabricard entre 30 y 50 horas - Defina la integral que debe plantear. - Resuelve la integral para obtener el tiempo total de procucción entre 30 y 50 horas. - Describa cómo esta información seria buena para opt mipar la programacion de la producción.

Question

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$$
\textbf{1. Planteamiento de la integral:}
$$

La cantidad total de productos fabricados entre las horas 30 y 50 se calcula integrando la tasa de producción $$ R(t)=20-t $$ entre esos límites. La integral es:

$$
\int_{30}^{50} (20-t) \, dt
$$

$$
\textbf{2. Resolución de la integral:}
$$

Primero, hallamos la antiderivada de $$ 20-t $$:

$$
\int (20-t) \, dt = 20t - \frac{t^2}{2} + C
$$

Evaluamos esta antiderivada en los límites de integración:

$$
\left[20t - \frac{t^2}{2}\right]_{30}^{50} = \left(20(50) - \frac{50^2}{2}\right) - \left(20(30) - \frac{30^2}{2}\right)
$$

Calculamos cada parte:

Para $$ t=50 $$:

$$
20(50) - \frac{50^2}{2} = 1000 - \frac{2500}{2} = 1000 - 1250 = -250
$$

Para $$ t=30 $$:

$$
20(30) - \frac{30^2}{2} = 600 - \frac{900}{2} = 600 - 450 = 150
$$

Entonces:

$$
\left[20t - \frac{t^2}{2}\right]_{30}^{50} = (-250) - (150) = -400
$$

$$
\textbf{3. Interpretación y utilidad para la optimización de la producción:}
$$

El resultado de la integral es $$-400$$. En el contexto de una tasa de producción, obtener un valor negativo indica que durante el intervalo de tiempo de 30 a 50 horas la tasa $$ R(t)=20-t $$ produce valores negativos, lo que en términos reales implicaría producir "menos que nada" o incluso representar un proceso de deterioro o pérdida (por ejemplo, despojarse de inventario, si se tratara de un proceso inverso).

Esta información es útil para la programación de la producción de la siguiente manera:

- Permite identificar que la función $$ R(t)=20-t $$ solo tiene sentido (es positiva) para valores de $$ t $$ menores a 20 horas. Después de ese punto, la tasa de producción se vuelve negativa, lo que sugiere que la fábrica no debería operar de forma continuada en ese segmento de tiempo sin ajustar el proceso o la función modelo.
- La dirección negativa indica que se deben tomar medidas para aumentar la tasa de producción o cambiar la programación de turnos antes de que la tasa caiga a niveles no deseados.
- Los responsables de la producción pueden utilizar esta información para rediseñar los periodos de operación, evitando intervalos en los cuales la producción decrece o se vuelve deficitaria, y así optimizar la utilización de los recursos y la planificación.

En resumen, la integral plantea el total neto (en este caso negativo) y resalta que la función tasa $$ R(t) $$ debe tener un dominio operativo adecuado para que la producción sea positiva, guiando decisiones para optimizar la programación y el proceso productivo.
Para calcular la producción total entre 30 y 50 horas, se integra la tasa de producción $$ R(t) = 20 - t $$: $$ \int_{30}^{50} (20 - t) \, dt = -400 $$ Este resultado indica que durante ese intervalo, la producción decrece, lo cual es útil para optimizar la programación, asegurando que la tasa de producción no sea negativa y ajustando la operación para maximizar la eficiencia.

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