Exercice 4: \( \begin{array}{l}\text { On considère la courbe }(C) \text { d'équation: } \\ x=\operatorname{sint} \times \operatorname{cost} \\ y=\cos ^{2} t \quad t \in[0, \pi / 2] \\ z=\operatorname{sint} \\ \text { Déterminer le repère de Frenet, la courbure et la torsion en un point } M(t)\end{array} \)

Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes suivantes : 1. **Déterminer les vecteurs de position, de vitesse et d'accélération.** 2. **Calculer le repère de Frenet.** 3. **Calculer la courbure et la torsion.** ### Étape 1 : Vecteurs de position, de vitesse et d'accélération La courbe est définie par les équations paramétriques : \[ \begin{cases} x(t) = \sin(t) \cos(t) \\ y(t) = \cos^2(t) \\ z(t) = \sin(t) \end{cases} \] Le vecteur de position \( \mathbf{M}(t) \) est donné par : \[ \mathbf{M}(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (\sin(t) \cos(t), \cos^2(t), \sin(t)) \] Calculons maintenant le vecteur de vitesse \( \mathbf{V}(t) \) en dérivant \( \mathbf{M}(t) \) par rapport à \( t \) : \[ \mathbf{V}(t) = \frac{d\mathbf{M}}{dt} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right) \] Calculons chaque dérivée : - Pour \( x(t) = \sin(t) \cos(t) \) : \[ \frac{dx}{dt} = \cos^2(t) - \sin^2(t) = \cos(2t) \] - Pour \( y(t) = \cos^2(t) \) : \[ \frac{dy}{dt} = -2\cos(t)\sin(t) = -\sin(2t) \] - Pour \( z(t) = \sin(t) \) : \[ \frac{dz}{dt} = \cos(t) \] Ainsi, le vecteur de vitesse est : \[ \mathbf{V}(t) = (\cos(2t), -\sin(2t), \cos(t)) \] Calculons maintenant le vecteur d'accélération \( \mathbf{A}(t) \) en dérivant \( \mathbf{V}(t) \) : \[ \mathbf{A}(t) = \frac{d\mathbf{V}}{dt} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}, \frac{d^2z}{dt^2}\right) \] Calculons chaque dérivée : - Pour \( \frac{d^2x}{dt^2} = -2\sin(2t) \) - Pour \( \frac{d^2y}{dt^2} = -2\cos(2t) \) - Pour \( \frac{d^2z}{dt^2} = -\sin(t) \) Ainsi, le vecteur d'accélération est : \[ \mathbf{A}(t) = (-2\sin(2t), -2\cos(2t), -\sin(t)) \] ### Étape 2 : Repère de Frenet Le repère de Frenet est constitué des vecteurs suivants : - Le vecteur tangent \( \mathbf{T}(t) \) est donné par : \[ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{V}(t)}{||\mathbf{V}(t)||} \] Calculons la norme de \( \mathbf{V}(t) \) : \[ ||\mathbf{V}(t)|| = \sqrt{\cos^2(2t) + \sin^2(2t) + \cos^2(t)} = \sqrt{1 + \cos^2(t)} \] Ainsi, le vecteur tangent est : \[ \mathbf{T}(t) = \left(\frac{\cos(2t)}{\sqrt{1 + \cos^2(t)}}, \frac{-\sin(2t)}{\sqrt{1 + \cos^2(t)}}, \frac{\cos(t)}{\sqrt{1 + \cos^2(t)}}\right) \] Le vecteur normal \( \mathbf{N}(t) \) est donné par : \[ \mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{A}(t) - (\mathbf{A}(t) \cdot \mathbf{T}(t))\mathbf{T}(t)}{||\mathbf{A}(t) - (\mathbf{A}(t) \cdot \mathbf{T}(t))\mathbf{T}(t)||} \] ### Étape 3 : Courbure et Torsion La courbure \( \kappa \) est donnée par : \[ \kappa = \frac{||\mathbf{T}'(t)||}{||\mathbf{V}(t)||} \] La torsion \( \tau \) est donnée par : \[ \tau = \frac{(\mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)) \cdot \mathbf{B}(t)}{||\mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)||} \] Où \( \mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t) \). ### Conclusion Nous avons établi les vecteurs de position, de vitesse et d'accélération, ainsi que les formules pour le repère de Frenet, la courbure et la torsion. Pour obtenir des valeurs numériques spécifiques, il faudrait évaluer ces expressions à un point \( M(t) \) donné.