Dados los puntos \( A(2,1,-1), B(1,1,3) \) y \( c(0,3,-1) \) Hallar los puntos del plano \( x z \), sabiendo que la abssisa es del doble de la cota y que son coplanares con \( A, B \) y \( C \).

Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones dadas: 1. Los puntos \( A(2,1,-1) \), \( B(1,1,3) \) y \( C(0,3,-1) \) son coplanares. 2. Queremos encontrar puntos en el plano \( xz \) donde la abscisa (coordenada \( x \)) es el doble de la cota (coordenada \( z \)). ### Paso 1: Ecuación de la coplanaridad Para que los puntos \( A \), \( B \) y \( C \) sean coplanares, el determinante de la matriz formada por sus coordenadas debe ser cero. La matriz se forma con las coordenadas de los puntos y una columna de unos: \[ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \] Sustituyendo los puntos \( A \), \( B \) y \( C \): \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \] ### Paso 2: Calcular el determinante Calculamos el determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes menores: 1. Para el primer determinante: \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -1 \\ \end{vmatrix} = (1)(-1) - (3)(3) = -1 - 9 = -10 \] 2. Para el segundo determinante: \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \\ \end{vmatrix} = (1)(-1) - (3)(0) = -1 \] 3. Para el tercer determinante: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \\ \end{vmatrix} = (1)(3) - (1)(0) = 3 \] Sustituyendo estos valores en la expresión del determinante \( D \): \[ D = 2(-10) - 1(-1) - 1(3) = -20 + 1 - 3 = -22 \] ### Paso 3: Encontrar la relación entre \( x \) y \( z \) Dado que queremos puntos en el plano \( xz \) donde la abscisa es el doble de la cota, tenemos la relación: \[ x = 2z \] ### Paso 4: Sustitución en la ecuación de coplanaridad Sustituyendo \( x = 2z \) en la ecuación de coplanaridad, podemos encontrar los puntos que cumplen con esta condición. Sustituyendo \( x \) en la matriz: \[ \begin{vmatrix} 2z & 1 & z & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \] ### Paso 5: Calcular el nuevo determinante Calculamos el determinante: \[ D' = 2z \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} - z \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} \] Sustituyendo los determinantes que ya calculamos: \[ D' = 2z(-10) - 1(-1) - z(3) \] Simplificando: \[ D' = -20z + 1 - 3z = -23z + 1 \] ### Paso 6: Igualar a cero Para que los puntos sean coplanares, igualamos a cero: \[ -23z + 1 = 0 \] Resolviendo para \( z \): \[ 23z = 1 \implies z = \frac{1}{23} \] ### Paso 7: Encontrar \( x \) Usando la relación \( x = 2z \): \[ x = 2 \left(\frac{1}{23}\right) = \frac{2}{23} \] ### Resultado Final Los puntos en el plano \( xz \) que son coplanares con \( A \), \( B \) y \( C \) son: \[ \left( \frac{2}{23}, 0, \frac{1}{23} \right) \] Este es el punto que cumple con todas las condiciones dadas.