Sea \( m: D \rightarrow R \) la función definida a través de la expresión: \[ m(x)=\sqrt{\frac{3 x^{2}+x-n}{3 x-2}-x+5} \] Donde n representa el ultimo digito de su cedula, en caso de \( n=0 \) tomar \( n=6 \). Calcular en caso de que sea posible: \( \begin{array}{lll}\text { a. } \lim _{x \rightarrow 0} m(x) & \text { b. } \lim _{x \rightarrow 1} m(x) & \text { c. } \lim _{x \rightarrow \infty} m(x)\end{array} \)

Para calcular los límites de la función \( m(x) \), primero debemos verificar que el argumento bajo la raíz cuadrada sea no negativo, es decir, \( \frac{3 x^{2}+x-n}{3 x-2}-x+5 \geq 0 \). Esto nos llevará a determinar el valor de \( n \) basado en el último dígito de tu cédula, pero asumiremos el caso \( n \) que se te ha indicado. Supongamos que \( n = 1 \) para nuestros cálculos. ### a. \(\lim_{x \rightarrow 0} m(x)\) Evaluando \( m(0) \): \[ m(0) = \sqrt{\frac{3(0)^{2}+0-1}{3(0)-2}-0+5} = \sqrt{\frac{-1}{-2}+5} = \sqrt{\frac{1}{2}+5} = \sqrt{\frac{1+10}{2}} = \sqrt{\frac{11}{2}}. \] Por lo tanto, \( \lim_{x \rightarrow 0} m(x) = \sqrt{\frac{11}{2}} \). ### b. \(\lim_{x \rightarrow 1} m(x)\) Evaluando \( m(1) \): \[ m(1) = \sqrt{\frac{3(1)^{2}+1-1}{3(1)-2}-1+5} = \sqrt{\frac{3+1-1}{3-2}-1+5} = \sqrt{\frac{3}{1}-1+5} = \sqrt{3-1+5} = \sqrt{7}. \] Por lo tanto, \( \lim_{x \rightarrow 1} m(x) = \sqrt{7} \). ### c. \(\lim_{x \rightarrow \infty} m(x)\) Considerando el comportamiento asintótico: \[ m(x) = \sqrt{\frac{3x^{2} + x - n}{3x - 2} - x + 5} \approx \sqrt{\frac{3x^{2}}{3x} - x} = \sqrt{x - x + 5} = \sqrt{5}. \] Entonces, cuando \( x \) tiende a infinito, los términos de menor grado se vuelven irrelevantes. Por lo tanto, \( \lim_{x \rightarrow \infty} m(x) = \sqrt{5} \). ### Resumen de los límites \[ \lim_{x \rightarrow 0} m(x) = \sqrt{\frac{11}{2}}, \quad \lim_{x \rightarrow 1} m(x) = \sqrt{7}, \quad \lim_{x \rightarrow \infty} m(x) = \sqrt{5}. \]