El valor numérico que se obtiene al evaluar la integral dada es: \( \int_{1}^{4} \frac{x-2}{\sqrt{x}} d x \) Seleccione una: a. 3 b. \( 3 / 2 \) c. \( 2 / 5 \) d. \( 2 / 3 \)

Primero, reescribimos la integral: \[ \int_{1}^{4} \frac{x-2}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{1}^{4} \left(\frac{x}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)dx = \int_{1}^{4} \left(\sqrt{x} - 2x^{-\frac{1}{2}}\right)dx \] Separamos la integral: \[ \int \sqrt{x}\,dx - 2\int x^{-\frac{1}{2}}\,dx \] Calculamos cada antiderivada: 1. Para \(\int \sqrt{x}\,dx\) (recordando que \(\sqrt{x}=x^{1/2}\)): \[ \int x^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \] 2. Para \(\int x^{-\frac{1}{2}}\,dx\): \[ \int x^{-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x} \] Entonces, la antiderivada total es: \[ F(x)= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2\cdot (2\sqrt{x}) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 \sqrt{x} \] Evaluamos \(F(x)\) en los límites: - Para \(x=4\): \[ F(4)= \frac{2}{3}\cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4\cdot \sqrt{4} \] Recordando que \(4^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{4})^3=2^3=8\) y \(\sqrt{4}=2\): \[ F(4)= \frac{2}{3}\times 8 - 4\times 2 = \frac{16}{3} - 8 = \frac{16-24}{3} = -\frac{8}{3} \] - Para \(x=1\): \[ F(1)= \frac{2}{3}\cdot 1^{\frac{3}{2}} - 4\cdot \sqrt{1} = \frac{2}{3} - 4 = \frac{2-12}{3} = -\frac{10}{3} \] La integral definida es: \[ F(4)-F(1)= -\frac{8}{3} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{2}{3} \] La respuesta correcta es la opción d. \(\frac{2}{3}\).