$$ \int _{}^{}\frac{1}{1+\sin (x)} d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

نبدأ بحساب التكامل
$$
\int \frac{1}{1+\sin x}\,dx.
$$
**الخطوة 1: ضرب البسط والمقام في المقابِل $$1-\sin x$$**
$$
\frac{1}{1+\sin x} = \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} = \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x}.
$$
ونلاحظ أن
$$
1-\sin^2 x = \cos^2 x.
$$
إذاً يصبح التكامل:
$$
\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\,dx.
$$

**الخطوة 2: تفكيك التكامل**
يمكننا كتابة التكامل على صورتين مختلفتين:
$$
\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx - \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx.
$$
وبما أن
$$
\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \quad \text{و} \quad \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x,
$$
فقيم التكامل تصبح:
$$
\int \sec^2 x\,dx - \int \sec x\tan x\,dx.
$$

**الخطوة 3: إيجاد التكامل لكل جزء**
نعلم أنه:
$$
\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C_1,
$$
و
$$
\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C_2.
$$
لذا يصبح التكامل الكامل:
$$
\tan x - \sec x + C,
$$
حيث $$ C $$ هو ثابت التكامل.

**الإجابة النهائية:**
$$
\boxed{\tan x - \sec x + C.}
$$
$$ \int \frac{1}{1+\sin x}\,dx = \tan x - \sec x + C $$

\( \int _{}^{}\frac{1}{1+\sin (x)} d x \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions