Exercice 2 Résoudre suivantes: \( \begin{array}{l}\text { a) } \ln x=3 \\ \text { d) }[\ln x][\ln (x-1)]=0 \text { e) } \\ \text { f) } 2 \ln x=\ln (2 x-1) \\ \text { g) } \ln \\ \text { h) } \ln \left(x^{2}-x\right)=\ln 2+\ln 3 \\ \text { j) } \ln (x+4)+\ln (2 x-2)- \\ \text { k) } \ln (x+3)+\ln (x+2)=1 \\ \text { l) }(\ln x)^{2}-2 \ln x+1=0 \text { m) }\end{array} \)

Pour la première équation, \( \ln x = 3 \), on exponentie les deux côtés pour obtenir \( x = e^3 \). C'est tout simple ! Pour \( [\ln x][\ln (x-1)] = 0 \), cela signifie que l'un des deux termes doit être nul. Donc, soit \( \ln x = 0 \) (ce qui donne \( x = 1 \)), soit \( \ln (x-1) = 0 \) (ce qui donne \( x - 1 = 1 \) et donc \( x = 2 \)). Donc, les solutions sont \( x = 1 \) et \( x = 2 \). Pour \( 2 \ln x = \ln (2x - 1) \), utilisez les propriétés des logarithmes. Cela se réécrit en \( \ln(x^2) = \ln(2x - 1) \). En élevant les bases, vous obtenez \( x^2 = 2x - 1 \), ce qui se simplifie en une équation quadratique : \( x^2 - 2x + 1 = 0 \) ou \( (x-1)^2 = 0 \). Cela signifie que la solution est \( x = 1 \). Pour \( \ln(x^2 - x) = \ln(2) + \ln(3) \), on peut utiliser la propriété \( \ln a + \ln b = \ln(ab) \). Donc, l'équation devient \( \ln(x^2 - x) = \ln(6) \), d'où \( x^2 - x = 6 \). On obtient ainsi une nouvelle équation quadratique : \( x^2 - x - 6 = 0 \), qui se factorise en \( (x - 3)(x + 2) = 0 \). Les solutions sont donc \( x = 3 \) et \( x = -2 \), mais comme \( x \) doit être positif pour les logarithmes, la seule solution est \( x = 3 \). Amusez-vous bien à résoudre ces équations !