\( 1 \leftarrow \quad \) Use synthetic division to find the function values. \( f(x)=x^{4}-16 \); find \( f(1), f(-1) \), and \( f(2-\sqrt{5}) \).
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To find the function values \( f(1) \), \( f(-1) \), and \( f(2 - \sqrt{5}) \), we can start by calculating them directly using the function \( f(x) = x^4 - 16 \). First, evaluate \( f(1) \): \[ f(1) = 1^4 - 16 = 1 - 16 = -15 \] Next, evaluate \( f(-1) \): \[ f(-1) = (-1)^4 - 16 = 1 - 16 = -15 \] Lastly, evaluate \( f(2 - \sqrt{5}) \): \[ f(2 - \sqrt{5}) = (2 - \sqrt{5})^4 - 16 \] Calculating \( (2 - \sqrt{5})^4 \) can be complex, so let’s simplify it step by step: Let \( a = 2 - \sqrt{5} \). Then we have: \[ a^2 = (2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5} \] Now square \( a^2 \) to find \( a^4 \): \[ a^4 = (9 - 4\sqrt{5})^2 = 81 - 72\sqrt{5} + 80 = 161 - 72\sqrt{5} \] Thus, \[ f(2 - \sqrt{5}) = (161 - 72\sqrt{5}) - 16 = 145 - 72\sqrt{5} \] So, the values are: - \( f(1) = -15 \) - \( f(-1) = -15 \) - \( f(2 - \sqrt{5}) = 145 - 72\sqrt{5} \)
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