Exercice \( \mathrm{N}^{\circ} 12 \) : BEEM 2004 Tracet un demi - cercle C de centre 0 et de diametre \( A B \) tel que \( A B=2 r \). Solt M un point du demi - cercle C plus proche de B que de A. Quctic est la nature du triangle AMB? Justifier. Soit a et b les mesure en degrés respectivement des angles \( B A M ; B O M \) et C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M . \( a^{\circ} / \) Donner deux expressions différentes de cos a. \( \mathrm{b}^{\circ} / \) En déduire que \( : \mathrm{AC}=\mathrm{AM} \cos \) a et \( A M^{2}=A B \times A C \). \( c^{\circ} / \) On sait que \( A C=A O+O C \). Exprimer \( O C \) en fonction de cos b . En déduire que \( \mathrm{AC}=\mathrm{r}(1+\cos \mathrm{b}) \) \( \mathrm{d}^{\circ} / \) Déduire des questions précédentes que \( \cos ^{2} \mathrm{a}=\frac{1+\cos b}{2} \)

Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes demandées. ### Étape 1 : Nature du triangle AMB Le triangle \( AMB \) est un triangle inscrit dans un demi-cercle. Selon le théorème de Thalès, si un triangle est inscrit dans un demi-cercle, alors l'angle au sommet du triangle (ici \( \angle AMB \)) est un angle droit. Donc, le triangle \( AMB \) est un triangle rectangle en \( M \). ### Étape 2 : Expressions de \( \cos a \) #### a. Donner deux expressions différentes de \( \cos a \) 1. Dans le triangle rectangle \( AMB \), on peut utiliser la définition du cosinus : \[ \cos a = \frac{AC}{AM} \] 2. Dans le triangle rectangle \( BMO \) (où \( O \) est le centre du demi-cercle), on peut également écrire : \[ \cos a = \frac{BO}{BM} \] ### Étape 3 : Déduire \( AC = AM \cos a \) et \( AM^2 = AB \times AC \) En utilisant les deux expressions de \( \cos a \) que nous avons trouvées, nous avons : 1. En multipliant les deux expressions par \( AM \) : \[ AC = AM \cos a \] 2. En utilisant le fait que \( AB = 2r \) (où \( r \) est le rayon du demi-cercle), et en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle \( AMB \) : \[ AM^2 = AB \times AC \] ### Étape 4 : Exprimer \( OC \) en fonction de \( \cos b \) Nous savons que : \[ AC = AO + OC \] où \( AO = r \) (le rayon du demi-cercle). En substituant cela dans l'équation, nous avons : \[ AC = r + OC \] En utilisant l'expression de \( AC \) que nous avons trouvée précédemment : \[ r(1 + \cos b) = r + OC \] En isolant \( OC \), nous obtenons : \[ OC = r \cos b \] ### Étape 5 : Déduire que \( AC = r(1 + \cos b) \) Nous avons déjà établi que : \[ AC = r(1 + \cos b) \] ### Étape 6 : Déduire que \( \cos^2 a = \frac{1 + \cos b}{2} \) Nous savons que : \[ AC = AM \cos a \] En substituant \( AC \) par \( r(1 + \cos b) \) et \( AM \) par \( r \) (car \( AM \) est le rayon du demi-cercle), nous avons : \[ r(1 + \cos b) = r \cos a \] En divisant par \( r \) (en supposant \( r \neq 0 \)), nous obtenons : \[ 1 + \cos b = \cos a \] En élevant au carré des deux côtés, nous avons : \[ \cos^2 a = \left(\frac{1 + \cos b}{2}\right)^2 \] En simplifiant, nous obtenons : \[ \cos^2 a = \frac{1 + \cos b}{2} \] ### Conclusion Nous avons démontré toutes les relations demandées dans l'exercice. Le triangle \( AMB \) est un triangle rectangle, et nous avons trouvé les expressions pour \( AC \), \( OC \), et la relation entre \( \cos a \) et \( \cos b \).