Dados los polinomios \( P(x)=x^{3}-7 \cdot x+6 \) y \( Q(x)= \) \( 3 \cdot x^{3}-9 \cdot x-6 \). Calcula el máximo común divisor de \( P(x) \) y \( Q(x) \) escríbel en forma factorial:

1. Factorizamos el polinomio \[ P(x)=x^3-7x+6. \] Buscamos raíces enteras. Probamos con \(x=1\): \[ 1^3-7\cdot1+6=1-7+6=0, \] por lo que \(x-1\) es factor. Realizamos la división: \[ P(x)=(x-1)(x^2+x-6). \] Factorizamos el trinomio: \[ x^2+x-6=(x-2)(x+3). \] Así, \[ P(x)=(x-1)(x-2)(x+3). \] 2. Factorizamos el polinomio \[ Q(x)=3x^3-9x-6. \] Extraemos el factor común \(3\): \[ Q(x)=3\left(x^3-3x-2\right). \] Buscamos raíces enteras en \(x^3-3x-2=0\). Probamos con \(x=2\): \[ 2^3-3\cdot2-2=8-6-2=0, \] por lo que \(x-2\) es factor. Realizamos la división para factorizar el resto: - Coeficientes del polinomio: \(1, 0, -3, -2\). - Usando división sintética con \(x=2\): - Baja el \(1\). - Multiplica: \(1\cdot2=2\). Suma a \(0\): \(2\). - Multiplica: \(2\cdot2=4\). Suma a \(-3\): \(1\). - Multiplica: \(1\cdot2=2\). Suma a \(-2\): \(0\). Así, el cociente es \(x^2+2x+1\), que se factoriza como: \[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \] Por tanto, \[ Q(x)=3(x-2)(x+1)^2. \] 3. Observamos los factores de cada polinomio: \[ P(x)=(x-1)(x-2)(x+3) \] \[ Q(x)=3(x-2)(x+1)^2. \] El único factor común es \(\boxed{x-2}\). Por lo tanto, el máximo común divisor de \(P(x)\) y \(Q(x)\) es: \[ \textbf{mcd}(P(x),Q(x))=(x-2). \]