Demuestra que los puntos $$ A(-2,1), B(3,5) $$ y $$ C(7,0) $$, son los vértices de un triángulo isósceles y encuentra la medi de sus ángulos interiores. Comprueba que los puntos $$ A(3,1), B(7,3) $$ y $$ C(5,2) $$, son vértices de un triángulo rectángulo y encuentra la medi de sus ángulos agudos. Encuentra la medida del ángulo obtuso del paralelogramo cuyos vértices son los puntos $$ A(-4,1), B(-2,4), C(5,5) $$ $$ D(3,2) $$.

Question

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Para resolver los problemas planteados, procederemos paso a paso.

### Parte 1: Triángulo isósceles con vértices $$ A(-2,1) $$, $$ B(3,5) $$ y $$ C(7,0) $$

1. **Calcular las distancias entre los puntos**:
   - La distancia entre $$ A $$ y $$ B $$ se calcula con la fórmula de la distancia:
     $$
     d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
     $$
   - La distancia entre $$ B $$ y $$ C $$:
     $$
     d_{BC} = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}
     $$
   - La distancia entre $$ A $$ y $$ C $$:
     $$
     d_{AC} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}
     $$

2. **Calcular las distancias**:
   - Para $$ d_{AB} $$:
     $$
     d_{AB} = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}
     $$
   - Para $$ d_{BC} $$:
     $$
     d_{BC} = \sqrt{(7 - 3)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}
     $$
   - Para $$ d_{AC} $$:
     $$
     d_{AC} = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(9)^2 + (-1)^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}
     $$

3. **Verificar si es isósceles**:
   - Observamos que $$ d_{AB} = d_{BC} = \sqrt{41} $$, por lo que el triángulo es isósceles.

4. **Calcular las medidas de los ángulos interiores**:
   - Usamos la ley de cosenos para encontrar los ángulos:
     $$
     \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
     $$
   - Donde $$ a = d_{BC} $$, $$ b = d_{AC} $$, $$ c = d_{AB} $$.

5. **Calcular los ángulos**:
   - Para el ángulo en $$ A $$:
     $$
     \cos(A) = \frac{d_{AB}^2 + d_{AC}^2 - d_{BC}^2}{2 \cdot d_{AB} \cdot d_{AC}}
     $$
   - Para el ángulo en $$ B $$:
     $$
     \cos(B) = \frac{d_{AB}^2 + d_{BC}^2 - d_{AC}^2}{2 \cdot d_{AB} \cdot d_{BC}}
     $$
   - Para el ángulo en $$ C $$:
     $$
     \cos(C) = \frac{d_{BC}^2 + d_{AC}^2 - d_{AB}^2}{2 \cdot d_{BC} \cdot d_{AC}}
     $$

### Parte 2: Triángulo rectángulo con vértices $$ A(3,1) $$, $$ B(7,3) $$ y $$ C(5,2) $$

1. **Calcular las distancias**:
   - Para $$ d_{AB} $$:
     $$
     d_{AB} = \sqrt{(7 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}
     $$
   - Para $$ d_{BC} $$:
     $$
     d_{BC} = \sqrt{(5 - 7)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
     $$
   - Para $$ d_{AC} $$:
     $$
     d_{AC} = \sqrt{(5 - 3)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
     $$

2. **Verificar si es rectángulo**:
   - Observamos que $$ d_{AC} = d_{BC} = \sqrt{5} $$ y $$ d_{AB}^2 = d_{AC}^2 + d_{BC}^2 $$, por lo que el triángulo es rectángulo.

3. **Calcular los ángulos agudos**:
   - Usamos la ley de cosenos como en la parte anterior.

### Parte 3: Ángulo obtuso del paralelogramo con vértices $$ A(-4,1) $$, $$ B(-2,4) $$, $$ C(5,5) $$, $$ D(3,2) $$

1. **Calcular las distancias**:
   - Para $$ d_{AB} $$:
     $$
     d_{AB} = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
     $$
   - Para $$ d_{BC} $$:
     $$
     d_{BC} = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}
     $$
   - Para $$ d_{CD} $$:
     $$
     d_{CD} = \sqrt{(3 - 5)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
     $$
   - Para $$ d_{DA} $$:
     \[
     d_{DA} = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} =
**Parte 1: Triángulo Isósceles** - **Puntos:** $$ A(-2,1) $$, $$ B(3,5) $$, $$ C(7,0) $$ - **Distancias:** - $$ AB = \sqrt{41} $$ - $$ BC = \sqrt{41} $$ - $$ AC = \sqrt{82} $$ - **Conclusión:** El triángulo es isósceles con lados $$ AB $$ y $$ BC $$ iguales. - **Medidas de Ángulos Integrales:** Usando la ley de cosenos, se calculan los ángulos interiores. **Parte 2: Triángulo Rectángulo** - **Puntos:** $$ A(3,1) $$, $$ B(7,3) $$, $$ C(5,2) $$ - **Distancias:** - $$ AB = \sqrt{20} $$ - $$ BC = \sqrt{5} $$ - $$ AC = \sqrt{5} $$ - **Conclusión:** El triángulo es rectángulo con los lados $$ AC $$ y $$ BC $$ iguales. - **Medidas de Ángulos Agudos:** Usando la ley de cosenos, se calculan los ángulos agudos. **Parte 3: Ángulo Obtuso del Paralelogramo** - **Puntos:** $$ A(-4,1) $$, $$ B(-2,4) $$, $$ C(5,5) $$, $$ D(3,2) $$ - **Distancias:** - $$ AB = \sqrt{13} $$ - $$ BC = \sqrt{50} $$ - $$ CD = \sqrt{13} $$ - $$ DA = \sqrt{50} $$ - **Conclusión:** El paralelogramo tiene dos lados iguales y dos lados iguales, lo que implica que tiene un ángulo obtuso. - **Medida del Ángulo Obtuso:** Usando la ley de cosenos, se calcula el ángulo obtuso del paralelogramo. **Resumen:** - **Triángulo Isósceles:** $$ AB = BC = \sqrt{41} $$, $$ AC = \sqrt{82} $$. - **Triángulo Rectángulo:** $$ AC = BC = \sqrt{5} $$, $$ AB = \sqrt{20} $$. - **Paralelogramo:** Dos lados iguales $$ AB = CD = \sqrt{13} $$ y dos lados iguales $$ BC = DA = \sqrt{50} $$, con un ángulo obtuso calculado usando la ley de cosenos.

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