II Pear le polynome défini par: $$ P(x)=\left(m^{2}-4\right) x^{2}+\left(m^{2}+4+4 m\right) x+m+2 $$. 1 Calculer $$ m $$ pour que $$ P $$ soit le polynôme nul.

Question

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Pour que le polynôme $$ P(x) $$ soit le polynôme nul, tous les coefficients de $$ P(x) $$ doivent être égaux à zéro. Le polynôme est donné par :

$$
P(x) = (m^{2}-4)x^{2} + (m^{2}+4+4m)x + (m+2)
$$

Nous allons donc établir les équations suivantes en posant chaque coefficient égal à zéro :

1. Coefficient de $$ x^2 $$ : $$ m^{2} - 4 = 0 $$
2. Coefficient de $$ x $$ : $$ m^{2} + 4 + 4m = 0 $$
3. Terme constant : $$ m + 2 = 0 $$

Nous allons résoudre ces équations une par une.

### Étape 1 : Résoudre $$ m^{2} - 4 = 0 $$

$$
m^{2} - 4 = 0 \implies m^{2} = 4 \implies m = 2 \quad \text{ou} \quad m = -2
$$

### Étape 2 : Résoudre $$ m^{2} + 4 + 4m = 0 $$

Nous allons substituer les valeurs trouvées dans cette équation.

1. Pour $$ m = 2 $$ :

$$
2^{2} + 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 4 + 8 = 16 \quad (\text{non nul})
$$

2. Pour $$ m = -2 $$ :

$$
(-2)^{2} + 4 + 4 \cdot (-2) = 4 + 4 - 8 = 0 \quad (\text{nul})
$$

### Étape 3 : Résoudre $$ m + 2 = 0 $$

$$
m + 2 = 0 \implies m = -2
$$

### Conclusion

La seule valeur de $$ m $$ pour laquelle $$ P(x) $$ est le polynôme nul est :

$$
\boxed{-2}
$$
La valeur de $$ m $$ qui rend $$ P(x) $$ le polynôme nul est $$ m = -2 $$.

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