Trovare le rette parallele alla retta di equazione \( y=\frac{1}{2} x+3 \) che hanno distanza uguale a \( 3 \sqrt{5} \) dal punto \( (\sqrt{2} ;-1) \)

Consideriamo una retta parallela a \[ y=\frac{1}{2}x+3 \] quindi della forma \[ y=\frac{1}{2}x+c, \] con \(c\) costante da determinare. La distanza \(d\) dal punto \(P(\sqrt{2},-1)\) alla retta \(y=\frac{1}{2}x+c\) è data dalla formula \[ d=\frac{\left| -\frac{1}{2}\sqrt{2}+(-1)-c \right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}}. \] Procediamo trasformando la formula. Calcoliamo il denominatore: \[ \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}. \] Quindi \[ d=\frac{\left| -\frac{\sqrt{2}}{2}-1-c \right|}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2\left| -\frac{\sqrt{2}}{2}-1-c \right|}{\sqrt{5}}. \] Sappiamo che la distanza richiesta è \( d=3\sqrt{5} \); dunque poniamo: \[ \frac{2\left| -\frac{\sqrt{2}}{2}-1-c \right|}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}. \] Moltiplichiamo entrambi i membri per \(\sqrt{5}\): \[ 2\left| -\frac{\sqrt{2}}{2}-1-c \right|=3\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=3\cdot5=15. \] Dividendo per 2: \[ \left| -\frac{\sqrt{2}}{2}-1-c \right|=\frac{15}{2}. \] Possiamo riscrivere l’espressione dentro il valore assoluto in modo più semplice cambiando segno: \[ \left| c+1+\frac{\sqrt{2}}{2} \right|=\frac{15}{2}. \] Si hanno quindi due casi: 1) \( c+1+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{15}{2} \) 2) \( c+1+\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{15}{2} \). Procediamo con il primo caso: \[ c=\frac{15}{2}-1-\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{15}{2}-\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{15-2-\sqrt{2}}{2} =\frac{13-\sqrt{2}}{2}. \] Nel secondo caso: \[ c=-\frac{15}{2}-1-\frac{\sqrt{2}}{2} =-\frac{15}{2}-\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} =-\frac{15+2+\sqrt{2}}{2} =-\frac{17+\sqrt{2}}{2}. \] Pertanto le equazioni delle rette parallele alla retta data e distanti \(3\sqrt{5}\) dal punto \((\sqrt{2},-1)\) sono \[ y=\frac{1}{2}x+\frac{13-\sqrt{2}}{2} \] e \[ y=\frac{1}{2}x-\frac{17+\sqrt{2}}{2}. \]