Dos estaciones de servicio, A y B, se encuentran en cierto cruce de caminos; en cada una hay seis surtidores de nafta. Consideramos el experimento en que el número de surtidores en uso en un día particular se determina para cada una de las estaciones. a) Describir el espacio muestral del experimento. ¿Cuántos elementos tiene? b) Expresar explícitamente los siguientes eventos: i) C: el número de surtidores en uso es el mismo para ambas estaciones de servicio. ii) D: el número total de surtidores en uso es cuatro. iii) E: por lo menos un surtidor está en uso en cada estación de servicio. iv) ¿Cuáles de los sucesos C, D o E son mutuamente excluyentes? v) sean los eventos \( \mathrm{A}_{\mathrm{i}} \) : la estación de servicio A tiene en uso exactamente i surtidores, \( \mathrm{i}= \) \( 0,1,2,3,4,5,6 ; y \mathrm{~B}_{\mathrm{i}} \) : la estación de servicio B tiene en uso i surtidores exactamente, \( \mathrm{i}=0,1,2,3,4,5,6 \). Expresar los eventos anteriores en función de \( \mathrm{A}_{\mathrm{i}}, \mathrm{B}_{\mathrm{i}}, \mathrm{i}=0,1,2,3 \), \( 4,5,6 \). Suponga que los dos dados del ejercicio 1) son normales. Entonces cada resultado del espacio muestral S tienen la misma probabilidad de ocurrir ( S es equiprobable). Encuentre las siguientes probabilidades: a) \( \mathrm{P}(\mathrm{A}) ; \) b) \( \mathrm{P}(\mathrm{B}) ; \mathrm{P}(\mathrm{C}) ; \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{C}) \) Se construye un dado de manera que el 1 y el 2 ocurran con el doble de la frecuencia que se presenta el 5 , el cual ocurre con una frecuencia 3 veces superior al 3 , al 4 , o al 6 . Si se lanza una vez, encuentre la probabilidad de que a) el número sea par. b) el número sea mayor que 4 . Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos castaños. Hallar la probabilidad de que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Vamos a resolver el problema paso a paso. ### Parte 1: Espacio Muestral y Eventos #### a) Describir el espacio muestral del experimento. ¿Cuántos elementos tiene? El espacio muestral \( S \) se puede describir como todos los pares ordenados \( (x, y) \), donde \( x \) es el número de surtidores en uso en la estación A y \( y \) es el número de surtidores en uso en la estación B. Dado que cada estación tiene 6 surtidores, \( x \) y \( y \) pueden tomar valores de 0 a 6. Por lo tanto, el espacio muestral es: \[ S = \{(0,0), (0,1), (0,2), \ldots, (6,6)\} \] El número total de elementos en el espacio muestral es \( 7 \times 7 = 49 \). #### b) Expresar explícitamente los siguientes eventos: i) \( C \): el número de surtidores en uso es el mismo para ambas estaciones de servicio. \[ C = \{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\} \] ii) \( D \): el número total de surtidores en uso es cuatro. \[ D = \{(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)\} \] iii) \( E \): por lo menos un surtidor está en uso en cada estación de servicio. \[ E = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\} \] iv) ¿Cuáles de los sucesos \( C, D \) o \( E \) son mutuamente excluyentes? - \( C \) y \( D \) no son mutuamente excluyentes, ya que \( (2,2) \) pertenece a ambos. - \( C \) y \( E \) no son mutuamente excluyentes, ya que \( (1,1) \) pertenece a ambos. - \( D \) y \( E \) no son mutuamente excluyentes, ya que \( (1,3) \) pertenece a ambos. Por lo tanto, ninguno de los eventos es mutuamente excluyente. v) Expresar los eventos en función de \( A_i \) y \( B_i \): - \( C = \{A_i, B_i : i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \text{ y } A_i = B_i\} \) - \( D = \{(A_i, B_j) : i + j = 4\} \) - \( E = \{(A_i, B_j) : i > 0 \text{ y } j > 0\} \) ### Parte 2: Probabilidades con Dados #### a) \( P(A) \) Para calcular \( P(A) \), necesitamos definir el evento \( A \). Supongamos que \( A \) es el evento de que la estación A tiene en uso exactamente 2 surtidores. Entonces: \[ P(A) = \frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número total de casos}} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7} \] #### b) \( P(B) \) Supongamos que \( B \) es el evento de que la estación B tiene en uso exactamente 3 surtidores. Entonces: \[ P(B) = \frac{7}{49} = \frac{1}{7} \] #### c) \( P(C) \) Para \( P(C) \), que es el evento de que el número de surtidores en uso es el mismo para ambas estaciones: \[ P(C) = \frac{7}{49} = \frac{1}{7} \] #### d) \( P(A \cap C) \) Para \( P(A \cap C) \), que es el evento de que la estación A tiene en uso exactamente 2 surtidores y el número de surtidores en uso es el mismo: \[ P(A \cap C) = P(C) \text{ cuando } A = 2 \Rightarrow P(A \cap C) = \frac{1}{49} \] ### Parte 3: Dado Modificado #### a) Probabilidad de que el número sea par Los números pares en un dado son 2, 4 y 6. Supongamos que la frecuencia de cada número es: - \( 1 \) y \( 2 \): frecuencia \( 2x \) - \( 3, 4, 6 \): frecuencia \( x \) - \( 5 \): frecuencia \( 3x \) La suma de frecuencias es: \[ 2x + 2x + x + x + 3x + x = 10x \] La probabilidad de que el número sea par es: \[ P(\text{par}) = \frac{2x + x + x}{10x} = \frac{4x}{10x} = \frac{2}{5} \] #### b) Probabilidad de que el número sea mayor que 4 Los números mayores que 4 son 5 y 6. La probabilidad es: \[ P(\text{mayor que 4}) = \frac{3x + x}{10x} = \frac{4x}{10x} = \frac{2}{5} \] ### Parte 4: Probabilidad de Hombre o Ojos Castaños En la clase hay 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales 5 hombres y 10 mujeres tienen ojos castaños. Total de personas = 30. Total de hombres o personas con ojos castaños: \[ P(\text{hombre o ojos castaños}) = P(\text{hombre}) + P(\text{ojos castaños}) - P(\text{hombre y ojos castaños}) \] \[ P(\text{hombre}) = \frac