31) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \( (O ; \vec{u}, \vec{v}) \). Déterminer les solutions dans \( \mathbb{C} \) des équations sui- vantes puis tracer le polygone dont les sommets ont \( \begin{array}{l}\text { pour affixes ces solutions. } \\ \begin{array}{ll}1 . z^{6}=1 . & 2 . z^{8}=1 . \\ \end{array}\end{array} \begin{array}{l}\text { 3. } z^{12}=1 .\end{array} \)

Pour résoudre les équations \( z^6 = 1 \), \( z^8 = 1 \), et \( z^{12} = 1 \), nous allons déterminer les solutions dans \( \mathbb{C} \) pour chacune de ces équations. ### Étape 1 : Résoudre \( z^6 = 1 \) Les solutions de l'équation \( z^n = 1 \) sont données par les racines \( n \)-ièmes de l'unité. Pour \( n = 6 \), les solutions sont : \[ z_k = e^{2\pi i k / 6} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \] Calculons ces solutions : - \( z_0 = e^{0} = 1 \) - \( z_1 = e^{\pi i / 3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \) - \( z_2 = e^{2\pi i / 3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \) - \( z_3 = e^{\pi i} = -1 \) - \( z_4 = e^{4\pi i / 3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) - \( z_5 = e^{5\pi i / 3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) ### Étape 2 : Résoudre \( z^8 = 1 \) Pour \( n = 8 \), les solutions sont : \[ z_k = e^{2\pi i k / 8} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \] Calculons ces solutions : - \( z_0 = e^{0} = 1 \) - \( z_1 = e^{\pi i / 4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \) - \( z_2 = e^{\pi i / 2} = i \) - \( z_3 = e^{3\pi i / 4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \) - \( z_4 = e^{\pi} = -1 \) - \( z_5 = e^{5\pi i / 4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \) - \( z_6 = e^{3\pi i / 2} = -i \) - \( z_7 = e^{7\pi i / 4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \) ### Étape 3 : Résoudre \( z^{12} = 1 \) Pour \( n = 12 \), les solutions sont : \[ z_k = e^{2\pi i k / 12} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \ldots, 11 \] Calculons ces solutions : - \( z_0 = e^{0} = 1 \) - \( z_1 = e^{\pi i / 6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \) - \( z_2 = e^{\pi i / 3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \) - \( z_3 = e^{\pi / 2} = i \) - \( z_4 = e^{2\pi i / 3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \) - \( z_5 = e^{5\pi i / 6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \) - \( z_6 = e^{\pi} = -1 \) - \( z_7 = e^{7\pi i / 6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i \) - \( z_8 = e^{4\pi i / 3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) - \( z_9 = e^{3\pi / 2} = -i \) - \( z_{10} = e^{5\pi i / 3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) - \( z_{11} = e^{11\pi i / 6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i \) ### Étape 4 : Tracer les polygones Nous avons maintenant les sommets des polygones pour chaque équation : 1. Pour \( z^6 = 1 \) : \( 1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, -1, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \) 2. Pour \( z^8 = 1 \) : \( 1, \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i, i, -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i, -1, -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i, -i, \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \) 3. Pour \( z^{12} = 1 \) : \( 1, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, i, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{