(7) Demoestra, empleando tablas de verdad, que cada una de estas mplicaciones es unae tautologioa, $$ \begin{array}{ll} ext { a) }(p A 9) ightarrow p & ext { b) } p ightarrow(p \vee q) \ ext { c) } P p ightarrow(p ightarrow q) & ext { d) }(p \wedge q) ightarrow(p ightarrow q) \ ext { e) }
eg(p ightarrow q) ightarrow p & ext { b) }
eg(p ightarrow q) ightarrow
eg q\end{array} $$

Question

(7) Demoestra, empleando tablas de verdad, que cada una de estas mplicaciones es unae tautologioa, $$ \begin{array}{ll}	ext { a) }(p A 9) ightarrow p & 	ext { b) } p ightarrow(p \vee q) \ 	ext { c) } P p ightarrow(p ightarrow q) & 	ext { d) }(p \wedge q) ightarrow(p ightarrow q) \ 	ext { e) } 
eg(p ightarrow q) ightarrow p & 	ext { b) } 
eg(p ightarrow q) ightarrow 
eg q\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

**a) Demostrar que $$ (p \wedge 
eg q) ightarrow p $$ es una tautología**

Construyamos la tabla de verdad:

| $$ p $$ | $$ q $$ | $$ 
eg q $$ | $$ p \wedge 
eg q $$ | $$ (p \wedge 
eg q) ightarrow p $$ |
|---------|---------|--------------|-----------------------|---------------------------------------|
| V       | V       | F            | F                     | V                                     |
| V       | F       | V            | V                     | V                                     |
| F       | V       | F            | F                     | V                                     |
| F       | F       | V            | F                     | V                                     |

En cada caso, la implicación es verdadera. Por ello, $$ (p \wedge 
eg q) ightarrow p $$ es una tautología.

---

**b) Demostrar que $$ p ightarrow (p \vee q) $$ es una tautología**

Tabla de verdad:

| $$ p $$ | $$ q $$ | $$ p \vee q $$ | $$ p ightarrow (p \vee q) $$ |
|---------|---------|----------------|-------------------------------|
| V       | V       | V              | V                             |
| V       | F       | V              | V                             |
| F       | V       | V              | V                             |
| F       | F       | F              | V                             |

Observamos que cuando $$ p $$ es falsa, la implicación se cumple vacíamente; y cuando $$ p $$ es verdadera, $$ p \vee q $$ siempre es verdadera. Así, $$ p ightarrow (p \vee q) $$ es una tautología.

---

**c) Demostrar que $$ 
eg p ightarrow (p ightarrow q) $$ es una tautología**

Recordemos que la implicación $$ p ightarrow q $$ es falsa únicamente cuando $$ p $$ es verdadera y $$ q $$ es falsa.

Construyamos la tabla:

| $$ p $$ | $$ q $$ | $$ 
eg p $$ | $$ p ightarrow q $$ | $$ 
eg p ightarrow (p ightarrow q) $$ |
|---------|---------|--------------|-----------------------|--------------------------------------------|
| V       | V       | F            | V                     | V                                          |
| V       | F       | F            | F                     | V                                          |
| F       | V       | V            | V                     | V                                          |
| F       | F       | V            | V                     | V                                          |

En la primera y segunda fila, $$ 
eg p $$ es falsa, haciendo verdadera la implicación independientemente del consecuente. En las filas restantes, $$ 
eg p $$ es verdadera, pero $$ p ightarrow q $$ se cumple. Así, $$ 
eg p ightarrow (p ightarrow q) $$ es siempre verdadera.

---

**d) Demostrar que $$ (p \wedge q) ightarrow (p ightarrow q) $$ es una tautología**

Elabora la tabla:

| $$ p $$ | $$ q $$ | $$ p \wedge q $$ | $$ p ightarrow q $$ | $$ (p \wedge q) ightarrow (p ightarrow q) $$ |
|---------|---------|------------------|-----------------------|--------------------------------------------------|
| V       | V       | V                | V                     | V                                                |
| V       | F       | F                | F                     | V                                                |
| F       | V       | F                | V                     | V                                                |
| F       | F       | F                | V                     | V                                                |

Si el antecedente $$ (p \wedge q) $$ es falso (según las filas 2, 3 y 4), la implicación se cumple automáticamente; en la primera fila, ambos son verdaderos. Por ello, la implicación es una tautología.

---

**e) Demostrar que $$ 
eg(p ightarrow q) ightarrow p $$ es una tautología**

Primero, recordamos que $$ p ightarrow q $$ es falsa únicamente cuando $$ p $$ es verdadera y $$ q $$ es falsa, por lo que $$ 
eg(p ightarrow q) $$ es verdadera solo en ese caso.

Tabla de verdad:

| $$ p $$ | $$ q $$ | $$ p ightarrow q $$ | $$ 
eg(p ightarrow q) $$ | $$ 
eg(p ightarrow q) ightarrow p $$ |
|---------|---------|-----------------------|----------------------------|-------------------------------------------|
| V       | V       | V                     | F                          | V                                         |
| V       | F       | F                     | V                          | V                                         |
| F       | V       | V                     | F                          | V                                         |
| F       | F       | V                     | F                          | V                                         |

En la única fila en que $$ 
eg(p ightarrow q) $$ es verdadera (segunda fila, cuando $$ p $$ es V y $$ q $$ es F), el consecuente $$ p $$ es verdadero. En las demás filas, al ser el antecedente falso, la implicación se cumple automáticamente. Por lo tanto, $$ 
eg(p ightarrow q) ightarrow p $$ es una tautología.

---

**f) Demostrar que $$ 
eg(p ightarrow q) ightarrow 
eg q $$ es una tautología**

Analicemos cada caso. Recordar que $$ 
eg(p ightarrow q) $$ es verdadera únicamente cuando $$ p $$ es verdadera y $$ q $$ es falsa.

Tabla de verdad:

| $$ p $$ | $$ q $$ | $$ p ightarrow q $$ | $$ 
eg(p ightarrow q) $$ | $$ 
eg q $$ | $$ 
eg(p ightarrow q) ightarrow 
eg q $$ |
|---------|---------|-----------------------|----------------------------|-------------|-----------------------------------------------|
| V       | V       | V                     | F                          | F           | V                                             |
| V       | F       | F                     | V                          | V           | V                                             |
| F       | V       | V                     | F                          | F           | V                                             |
| F       | F       | V                     | F                          | V           | V                                             |

Nuevamente, en la única situación en la que $$ 
eg(p ightarrow q) $$ es verdadera (fila 2, con $$ p $$ V y $$ q $$ F), $$ 
eg q $$ es verdadera. En las demás filas, el antecedente es falso, por lo que la implicación se cumple. Así, $$ 
eg(p ightarrow q) ightarrow 
eg q $$ es una tautología.

---

Cada una de las implicaciones presentadas se cumple en todas las filas de su respectiva tabla de verdad, demostrando que son tautologías.
Cada una de las implicaciones es una tautología, ya que se cumple en todas las posibles combinaciones de valores de $$ p $$ y $$ q $$.

(7) Demoestra, empleando tablas de verdad, que
cada una de estas mplicaciones es unae
tautologioa,

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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