2. निम्न में से पाँच खन्डों को हल कीजिए- $$ 5 \times 5-25 $$ (क) $$ \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $$ का परिमेयीक्रण कीजिए। (ख) सर्वसमिका का प्रयोग करके $$ (2 x+2)^{2} $$ का प्रसार यीजिए। (ग) एक चतुर्भुज के कोण 3:5:9:13 के अनुपात में है। इस चतुर्भुन के सभी कोण ज्ञात कीजिए। (घ) सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की बराघर जीवाएँ केन्द्र पर वरावर कोण अन्ताित करती हीं। (ड) सिद्व कीजिए कि एक केन्द्र से जीवा पर छ्ञाला गया लन्ब कीवा को समद्रिभाजित करता.है।

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

आइए, दिए गए प्रश्नों को क्रमशः हल करते हैं:

### 1. $$ 5 \times 5 - 25 $$
इसका हल:
$$
5 \times 5 = 25
$$
अब, $$ 25 - 25 = 0 $$

### 2. $$ \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $$ का परिमेयीकरण
इसका परिमेयीकरण करने के लिए, हम भिन्न के हर भाग को $$ \sqrt{3} + \sqrt{2} $$ से गुणा करेंगे:
$$
\frac{3 \sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}
$$
निम्नलिखित गणना करते हैं:
$$
(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1
$$
अब, भिन्न का उपरी भाग:
$$
3 \sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 \sqrt{6} + 6
$$
इसलिए, परिमेयीकरण होगा:
$$
3 \sqrt{6} + 6
$$

### 3. सर्वसमिका का प्रयोग करके $$ (2x + 2)^{2} $$ का प्रसार
सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए:
$$
(2x + 2)^{2} = (2x)^{2} + 2 \cdot (2x) \cdot 2 + 2^{2}
$$
गणना करते हैं:
$$
= 4x^{2} + 8x + 4
$$

### 4. एक चतुर्भुज के कोण 3:5:9:13 के अनुपात में है। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि चतुर्भुज के कोण $$ 3x, 5x, 9x, 13x $$ हैं। चतुर्भुज के सभी कोणों का योग $$ 360^{\circ} $$ होता है:
$$
3x + 5x + 9x + 13x = 360
$$
$$
30x = 360 \implies x = 12
$$
अब, कोण ज्ञात करते हैं:
- पहला कोण: $$ 3x = 36^{\circ} $$
- दूसरा कोण: $$ 5x = 60^{\circ} $$
- तीसरा कोण: $$ 9x = 108^{\circ} $$
- चौथा कोण: $$ 13x = 156^{\circ} $$

### 5. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की बराघर जीवाएँ केन्द्र पर वरावर कोण अन्ताित करती हैं।
वृत्त के केन्द्र से किसी बिंदु पर दो जीवाएँ खींचते हैं। मान लीजिए कि $$ A $$ और $$ B $$ वृत्त पर दो बिंदु हैं और $$ O $$ वृत्त का केन्द्र है। $$ OA $$ और $$ OB $$ जीवाएँ हैं। $$ \angle AOB $$ को $$ \theta $$ मानते हैं।

वृत्त के किसी भी बिंदु पर $$ A $$ और $$ B $$ के बीच की चाप $$ AB $$ के लिए, $$ OA $$ और $$ OB $$ के बीच का कोण $$ \angle ACB $$ (जहाँ $$ C $$ चाप पर कोई बिंदु है) हमेशा $$ \frac{1}{2} \theta $$ होगा।

इससे सिद्ध होता है कि केन्द्र पर कोण $$ \angle AOB $$ हमेशा चाप के कोण $$ \angle ACB $$ का दोगुना होता है।

### 6. सिद्ध कीजिए कि एक केन्द्र से जीवा पर छ्ञाला गया लन्ब कीवा को समद्रिभाजित करता है।
मान लीजिए कि $$ O $$ वृत्त का केन्द्र है और $$ A $$ वृत्त पर एक बिंदु है। $$ OA $$ जीवा है। $$ B $$ वृत्त पर एक बिंदु है। $$ OB $$ जीवा पर छ्याला गया लम्ब है।

चूंकि $$ OA $$ और $$ OB $$ दोनों ही वृत्त की त्रिज्या हैं, इसलिए $$ OA = OB $$ होगा।

इससे सिद्ध होता है कि $$ AB $$ लम्ब $$ O $$ से $$ AB $$ को समद्रिभाजित करता है।

इस प्रकार, सभी प्रश्नों का समाधान किया गया है।
1. $$ 5 \times 5 - 25 = 0 $$ 2. $$ \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $$ का परिमेयीकरण: $$ 3 \sqrt{6} + 6 $$ 3. $$ (2x + 2)^{2} = 4x^{2} + 8x + 4 $$ 4. चतुर्भुज के कोण: $$ 36^{\circ}, 60^{\circ}, 108^{\circ}, 156^{\circ} $$ 5. किसी वृत्त की बराघर जीवाएँ केन्द्र पर वरावर कोण अन्ताित करती हैं। 6. एक केन्द्र से जीवा पर छ्ञाला गया लन्ब कीवा को समद्रिभाजित करता है।

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