Resuelva la siguiente integral, de su respuesta con dos decimales. \( \int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}} d x=\square \)

Para resolver la integral \( \int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}} \, dx \), podemos utilizar una sustitución trigonométrica. Si tomamos \( x = \tan(\theta) \), entonces \( dx = \sec^2(\theta) d\theta \) y los límites de integración cambian de 0 a \( \frac{\pi}{4} \). La integral se convierte en: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\tan^2(\theta)} \sec^2(\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^3(\theta) \, d\theta. \] La integral de \( \sec^3(\theta) \) es conocida: \[ \int \sec^3(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} (\sec(\theta) \tan(\theta) + \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) |) + C. \] Sustituyendo los límites de integración, evaluamos: \[ \left[ \frac{1}{2} (\sec(\theta) \tan(\theta) + \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) |) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}. \] Al evaluar, primero en \( \theta = \frac{\pi}{4} \): - \( \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \), - \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \). Entonces: \[ \frac{1}{2}(\sqrt{2} \cdot 1 + \ln |\sqrt{2} + 1|). \] Ahora lo evaluamos en \( \theta = 0 \): - \( \sec(0) = 1 \), - \( \tan(0) = 0 \). Entonces: \[ \frac{1}{2}(1 \cdot 0 + \ln |1 + 0|) = 0. \] Al final, restamos los resultados: \[ \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)) - 0. \] Calculando el valor numérico: \[ \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)) \approx 0.5(1.414 + 0.881) \approx 1.1475. \] Redondeando a dos decimales, la respuesta es: \[ \int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}} \, dx \approx 1.15. \]