I. Determine el dominio de las siguientes expresiones algebraicas racionales. $$ \begin{array}{l} ext { a) } \frac{7 x}{5 x-4} \ ext { (1 punto) } \ ext { b) } \frac{x-3}{x^{2}+5 x-14}\end{array} $$

Question

I. Determine el dominio de las siguientes expresiones algebraicas racionales. $$ \begin{array}{l}	ext { a) } \frac{7 x}{5 x-4} \ 	ext { (1 punto) } \ 	ext { b) } \frac{x-3}{x^{2}+5 x-14}\end{array} $$

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Para determinar el dominio de las expresiones algebraicas racionales, debemos identificar los valores de $$ x $$ que hacen que el denominador sea igual a cero, ya que esos valores no están permitidos en el dominio.

### a) $$ \frac{7x}{5x-4} $$

1. **Identificar el denominador**: El denominador es $$ 5x - 4 $$.
2. **Igualar a cero**: Para encontrar los valores que no están en el dominio, igualamos el denominador a cero:
   $$
   5x - 4 = 0
   $$
3. **Resolver la ecuación**:
   $$
   5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}
   $$
4. **Dominio**: El dominio de la expresión es todos los números reales excepto $$ x = \frac{4}{5} $$. En notación de intervalo, esto se expresa como:
   $$
   D_a = (-\infty, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty)
   $$

### b) $$ \frac{x-3}{x^{2}+5x-14} $$

1. **Identificar el denominador**: El denominador es $$ x^2 + 5x - 14 $$.
2. **Igualar a cero**: Igualamos el denominador a cero:
   $$
   x^2 + 5x - 14 = 0
   $$
3. **Resolver la ecuación**: Usamos la fórmula cuadrática $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$, donde $$ a = 1, b = 5, c = -14 $$:
   $$
   x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2 \cdot 1}
   $$
   $$
   x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{-5 \pm 9}{2}
   $$
   Esto nos da dos soluciones:
   $$
   x_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-14}{2} = -7
   $$
4. **Dominio**: El dominio de la expresión es todos los números reales excepto $$ x = 2 $$ y $$ x = -7 $$. En notación de intervalo, esto se expresa como:
   $$
   D_b = (-\infty, -7) \cup (-7, 2) \cup (2, \infty)
   $$

### Resumen de los dominios:
- $$ D_a = (-\infty, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty) $$
- $$ D_b = (-\infty, -7) \cup (-7, 2) \cup (2, \infty) $$
El dominio de $$ \frac{7x}{5x-4} $$ es todos los números reales excepto $$ x = \frac{4}{5} $$. El dominio de $$ \frac{x-3}{x^{2}+5x-14} $$ es todos los números reales excepto $$ x = 2 $$ y $$ x = -7 $$.

I. Determine el dominio de las siguientes expresiones algebraicas racionales. \( \begin{array}{l}\text { a) } \frac{7 x}{5 x-4} \\ \text { (1 punto) } \\ \text { b) } \frac{x-3}{x^{2}+5 x-14}\end{array} \)

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