Ejercicio 19 Calcular el ángulo interno $$ A $$ del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos $$ A(1,1), B(3,5), C(11,6) $$ y $$ D(9,2) $$. Graficar.

Question

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Para calcular el ángulo interno $$ A $$ del paralelogramo formado por los puntos $$ A(1,1) $$, $$ B(3,5) $$, $$ C(11,6) $$ y $$ D(9,2) $$, seguiremos estos pasos:

1. **Identificar los vectores**: Primero, necesitamos encontrar los vectores que forman los lados del paralelogramo. Los vectores $$ \vec{AB} $$ y $$ \vec{AD} $$ son importantes para calcular el ángulo $$ A $$.

- El vector $$ \vec{AB} $$ se calcula como:
     $$
     \vec{AB} = B - A = (3 - 1, 5 - 1) = (2, 4)
     $$

- El vector $$ \vec{AD} $$ se calcula como:
     $$
     \vec{AD} = D - A = (9 - 1, 2 - 1) = (8, 1)
     $$

2. **Calcular el ángulo**: El ángulo $$ A $$ se puede calcular usando el producto punto de los vectores $$ \vec{AB} $$ y $$ \vec{AD} $$:
   $$
   \cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| |\vec{AD}|}
   $$

- Primero, calculamos el producto punto $$ \vec{AB} \cdot \vec{AD} $$:
     $$
     \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 2 \cdot 8 + 4 \cdot 1 = 16 + 4 = 20
     $$

- Luego, calculamos las magnitudes de los vectores:
     $$
     |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
     $$
     $$
     |\vec{AD}| = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}
     $$

- Ahora, sustituimos en la fórmula del coseno:
     $$
     \cos(A) = \frac{20}{(2\sqrt{5})(\sqrt{65})}
     $$

3. **Calcular el ángulo**: Ahora calculamos el valor de $$ A $$ usando la función inversa del coseno.

Voy a realizar los cálculos necesarios para obtener el valor de $$ A $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{20}{\left(2\sqrt{5}\times \sqrt{65}\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{20}{2\sqrt{5}\times \sqrt{65}}$$
- step2: Multiply the terms:
  $$\frac{20}{2\times 5\sqrt{13}}$$
- step3: Reduce the fraction:
  $$\frac{2}{\sqrt{13}}$$
- step4: Multiply by the Conjugate:
  $$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}$$
- step5: Multiply the numbers:
  $$\frac{2\sqrt{13}}{13}$$
Calculate or simplify the expression $$ \arccos(20/(2*\sqrt(5)*\sqrt(65))) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\arccos\left(\frac{20}{\left(2\sqrt{5}\times \sqrt{65}\right)}\right)$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\arccos\left(\frac{20}{2\sqrt{5}\times \sqrt{65}}\right)$$
- step2: Reduce the fraction:
  $$\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)$$
Parece que hubo un problema al intentar graficar los puntos. Sin embargo, puedo describir cómo se vería el gráfico.

### Descripción de la gráfica

1. **Puntos**:
   - $$ A(1,1) $$
   - $$ B(3,5) $$
   - $$ C(11,6) $$
   - $$ D(9,2) $$

2. **Conexión de los puntos**:
   - Conectar $$ A $$ a $$ B $$
   - Conectar $$ B $$ a $$ C $$
   - Conectar $$ C $$ a $$ D $$
   - Conectar $$ D $$ a $$ A $$

3. **Forma del paralelogramo**:
   - Los lados $$ AB $$ y $$ CD $$ son paralelos, al igual que los lados $$ AD $$ y $$ BC $$.

### Conclusión

El ángulo interno $$ A $$ del paralelogramo es aproximadamente $$ 57.12^\circ $$. Si necesitas una gráfica visual, puedes usar software de gráficos o herramientas en línea para trazar los puntos y conectar los vértices.
El ángulo interno $$ A $$ del paralelogramo es aproximadamente $$ 57.12^\circ $$.

Ejercicio 19 Calcular el ángulo interno \( A \) del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos \( A(1,1), B(3,5), C(11,6) \) y \( D(9,2) \). Graficar.

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