41 Fernando tira un penalti chutando con un ángulo de inclinación de \( 38^{\circ} \). El punto de penalti está a 11 m de la portería, que mide \( 2,44 \mathrm{~m} \) de alto. ¿Meterá gol?

Para determinar si Fernando meterá gol al tirar el penalti, necesitamos calcular la altura máxima que alcanzará el balón al ser chutado con un ángulo de \( 38^{\circ} \) desde una distancia de \( 11 \, \text{m} \) de la portería. ### Paso 1: Descomponer el movimiento El tiro se puede descomponer en dos componentes: horizontal y vertical. Usaremos las siguientes fórmulas: - La distancia horizontal \( d \) que recorre el balón es: \[ d = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t \] - La altura \( h \) que alcanza el balón es: \[ h = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \] Donde: - \( v_0 \) es la velocidad inicial del balón. - \( \theta \) es el ángulo de lanzamiento (\( 38^{\circ} \)). - \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (\( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)). - \( t \) es el tiempo de vuelo. ### Paso 2: Calcular el tiempo de vuelo Primero, necesitamos encontrar el tiempo \( t \) que tarda el balón en recorrer \( 11 \, \text{m} \) horizontalmente. Para esto, necesitamos la velocidad inicial \( v_0 \). Sin embargo, como no se proporciona, asumiremos que el balón alcanza la portería. Reorganizando la fórmula de la distancia horizontal: \[ t = \frac{d}{v_0 \cdot \cos(\theta)} \] ### Paso 3: Sustitución en la altura Sustituyendo \( t \) en la fórmula de la altura: \[ h = v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot \left(\frac{d}{v_0 \cdot \cos(\theta)}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{d}{v_0 \cdot \cos(\theta)}\right)^2 \] Simplificando: \[ h = d \cdot \tan(\theta) - \frac{g d^2}{2 v_0^2 \cos^2(\theta)} \] ### Paso 4: Evaluar si se mete el gol Para que el balón entre en la portería, la altura \( h \) debe ser mayor que \( 2.44 \, \text{m} \). Ahora, vamos a calcular \( h \) en función de \( v_0 \) y luego evaluaremos si hay un valor de \( v_0 \) que permita que \( h \) sea mayor que \( 2.44 \, \text{m} \). ### Paso 5: Calcular \( h \) Primero, calculamos \( \tan(38^{\circ}) \) y \( \cos(38^{\circ}) \): \[ \tan(38^{\circ}) \quad \text{y} \quad \cos(38^{\circ}) \] Luego, sustituimos \( d = 11 \, \text{m} \) y \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) en la fórmula de \( h \). Voy a realizar estos cálculos. Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\cos\left(38degre\times es\right)\) - step1: Rewrite the expression: \(\cos\left(38de^{3}grs\right)\) - step2: Multiply the numbers: \(\cos\left(38e^{3}dgrs\right)\) Calculate or simplify the expression \( \tan(38 degrees) \). Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\tan\left(38degre\times es\right)\) - step1: Rewrite the expression: \(\tan\left(38de^{3}grs\right)\) - step2: Multiply the numbers: \(\tan\left(38e^{3}dgrs\right)\) Calculate or simplify the expression \( \tan(38) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\tan\left(38\right)\) Calculate or simplify the expression \( \cos(38) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\cos\left(38\right)\) Calculate or simplify the expression \( 11 * \tan(38) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(11\tan\left(38\right)\) Calculate or simplify the expression \( (9.81 * 11^2) / (2 * (\cos(38))^2) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(9.81\times 11^{2}\right)}{\left(2\cos^{2}\left(38\right)\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{9.81\times 11^{2}}{2\cos^{2}\left(38\right)}\) - step2: Multiply the numbers: \(\frac{1187.01}{2\cos^{2}\left(38\right)}\) - step3: Convert the expressions: \(\frac{\frac{118701}{100}}{2\cos^{2}\left(38\right)}\) - step4: Multiply by the reciprocal: \(\frac{118701}{100}\times \frac{1}{2\cos^{2}\left(38\right)}\) - step5: Multiply the terms: \(\frac{118701}{100\times 2\cos^{2}\left(38\right)}\) - step6: Multiply the terms: \(\frac{118701}{200\cos^{2}\left(38\right)}\) - step7: Calculate the trigonometric value: \(650.654834\) ### Resultados de los cálculos 1. **Cálculo de \( \tan(38^{\circ}) \)**: \[ \tan(38^{\circ}) \approx 0.31031 \] 2. **Cálculo de \( \cos(38^{\circ}) \)**: \[ \cos(38^{\circ}) \approx 0.955074 \] 3. **Altura máxima alcanzada por el balón**: \[ h = 11 \cdot \tan(38^{\circ}) \approx 11 \cdot 0.31031 \approx 3.41 \, \text{m} \] 4. **Cálculo del término de caída**: \[ \frac{9.81 \cdot 11^2}{2 \cdot (0.955074)^2} \approx 650.65 \] ### Paso 6: Evaluar la altura máxima Ahora, sustituimos estos valores en la fórmula de la altura \( h \): \[ h = 3.41 - \frac{650.65}{v_0^2} \] Para que el balón entre en la portería, necesitamos que: \[ h > 2.44 \] ### Paso 7: Despejar \( v_0 \) Despejamos \( v_0 \): \[ 3.41 - \frac{650.65}{v_0^2} > 2.44 \] \[ 3.41 - 2.44 > \frac{650.65}{v_0^2} \] \[ 0.97 > \frac{650.65}{v_0^2} \] \[ v_0^2 > \frac{650.65}{0.97} \] \[ v_0 > \sqrt{\frac{650.65}{0.97}} \] Voy a calcular \( v_0 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\sqrt{\frac{650.65}{0.97}}\) - step1: Divide the terms: \(\sqrt{\frac{65065}{97}}\) - step2: Use the properties of radicals: \(\frac{\sqrt{65065}}{\sqrt{97}}\) - step3: Simplify the expression: \(\frac{13\sqrt{385}}{\sqrt{97}}\) - step4: Multiply by the Conjugate: \(\frac{13\sqrt{385}\times \sqrt{97}}{\sqrt{97}\times \sqrt{97}}\) - step5: Multiply the numbers: \(\frac{13\sqrt{37345}}{\sqrt{97}\times \sqrt{97}}\) - step6: Multiply the numbers: \(\frac{13\sqrt{37345}}{97}\) ### Cálculo de la velocidad inicial \( v_0 \) Al calcular \( v_0 \): \[ v_0 > \sqrt{\frac{650.65}{0.97}} \approx 25.90 \, \text{m/s} \] ### Conclusión Para que Fernando meta gol, necesita chutar el balón con una velocidad inicial mayor a \( 25.90 \, \text{m/s} \). Si logra alcanzar esta velocidad, el balón superará la altura de \( 2.44 \, \text{m} \) de la portería y, por lo tanto, meterá gol. Si la velocidad es menor, no logrará superar la altura de la portería.