\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { n } } { 1 + x } d x \)

Um den Grenzwert \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1 + x} \, dx \] zu berechnen, analysieren wir das Integral zunächst genauer. **Schritt 1: Verhalten von \( x^n \) für \( n \rightarrow \infty \)** Für \( x \) im Intervall \([0, 1)\) tendiert \( x^n \) gegen \( 0 \), da \( x < 1 \). Am Punkt \( x = 1 \) ist \( x^n = 1 \) für alle \( n \). Allerdings hat der Punkt \( x = 1 \) im Integralmaß keine Bedeutung, da ein einzelner Punkt kein Flächeninhalt hat. **Schritt 2: Dominierendes Verhalten nahe \( x = 1 \)** Der wesentliche Beitrag zum Integral kommt aus der Umgebung von \( x = 1 \), da dort \( x^n \) am langsamsten gegen \( 0 \) konvergiert. Wir führen die Substitution \( x = 1 - \frac{t}{n} \) ein, wobei \( t \) klein ist, wenn \( n \) groß wird. Dann gilt für große \( n \): \[ x^n = \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \approx e^{-t} \] Außerdem nähert sich \( 1 + x \) für \( x \) nahe \( 1 \) dem Wert \( 2 \). **Schritt 3: Näherung des Integrals** Das Integral lässt sich somit näherungsweise schreiben als: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1 + x} \, dx \approx \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{2} \cdot \frac{dt}{n} = \frac{1}{2n} \int_{0}^{\infty} e^{-t} \, dt = \frac{1}{2n} \] Da \( \int_{0}^{\infty} e^{-t} \, dt = 1 \), ergibt sich: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1 + x} \, dx \approx \frac{1}{2n} \] **Schritt 4: Bildung des Grenzwertes** Für \( n \rightarrow \infty \) erhalten wir: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2n} = 0 \] **Fazit:** \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1 + x} \, dx = 0 \]