\( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 \log ( 1 + \sin x ) - 2 x + x ^ { 2 } } { ( 2 e ^ { x } - 2 - 2 x - x ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } x } \)

Calcoliamo il limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \log(1 + \sin x) - 2x + x^2}{(2 e^x - 2 - 2x - x^2) \cos^2 x} \] Per risolvere questo limite, espandiamo al numeratore e al denominatore le funzioni usando lo sviluppo in serie di Taylor attorno a \( x = 0 \). **Espansione del numeratore:** Consideriamo l'espansione di \( \sin x \) e di \( \log(1 + y) \): \[ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \mathcal{O}(x^5) \] \[ \log(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} + \mathcal{O}(y^4) \] Sostituendo \( y = \sin x \): \[ \log(1 + \sin x) \approx \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2}{2} + \frac{\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3}{3} \] Semplificando fino ai termini di ordine \( x^3 \): \[ \log(1 + \sin x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \] Moltiplicando per 2 e sottraendo \( 2x \) aggiungendo \( x^2 \): \[ 2 \log(1 + \sin x) - 2x + x^2 \approx 2\left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) - 2x + x^2 = \frac{x^3}{3} \] **Espansione del denominatore:** Espandiamo \( e^x \) e \( \cos x \): \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \mathcal{O}(x^4) \] \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \mathcal{O}(x^6) \] Calcoliamo \( 2e^x - 2 - 2x - x^2 \): \[ 2e^x - 2 - 2x - x^2 \approx 2\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) - 2 - 2x - x^2 = \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{12} \] Calcoliamo \( \cos^2 x \): \[ \cos^2 x \approx \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^2 = 1 - x^2 + \frac{x^4}{4} \] Moltiplicando le due espansioni: \[ (2e^x - 2 - 2x - x^2)\cos^2 x \approx \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{12}\right)\left(1 - x^2 + \frac{x^4}{4}\right) \approx \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{12} \] **Calcolo del limite:** Ora, il limite diventa: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{\frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{12}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \frac{x}{4}} = 1 \] **Risposta finale:** Il limite è uguale a 1.