Simplizy \( \frac{\cos (90+\theta)}{\sin \left(\theta-180^{\circ}\right)+3 \sin (-\theta)} \)
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The Deep Dive
Let's simplify the expression step by step. Starting with the numerator: \[ \cos(90^\circ + \theta) = -\sin(\theta) \] (using the co-function identity). Now, for the denominator: \[ \sin(\theta - 180^\circ) = -\sin(\theta) \] (again, using the sine function's property with angles). Also, \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\). So, we can rewrite the denominator as: \[ -\sin(\theta) + 3(-\sin(\theta)) = -\sin(\theta) - 3\sin(\theta) = -4\sin(\theta). \] Putting it all together, we have: \[ \frac{\cos(90^\circ + \theta)}{\sin(\theta - 180^\circ) + 3 \sin(-\theta)} = \frac{-\sin(\theta)}{-4\sin(\theta)}. \] The \(-\sin(\theta)\) cancels out (assuming \(\sin(\theta) \neq 0\)): \[ = \frac{1}{4}. \] Thus, the simplified expression is: \[ \frac{1}{4}. \]
