I en klubb för amerikansk fotboll är spelarnas längd normalfördelad med medellängden 187 cm och standardavvikelsen 5 cm . Klubben har 112 spelare totalt. Bestäm antalet spelare som förväntas vara längre än 182 cm . Svar:

1. Vi vet att spelarnas längd är normalfördelad med medelvärde \( \mu = 187 \) cm och standardavvikelse \( \sigma = 5 \) cm. 2. Vi vill bestämma andelen spelare som är längre än 182 cm, dvs. vi vill beräkna \( P(X > 182) \). 3. För att använda standard normalfördelning beräknar vi z-värdet: \[ z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{182 - 187}{5} = \frac{-5}{5} = -1 \] 4. Eftersom \( P(X > 182) = P(z > -1) \) och vi har sambandet: \[ P(z > -1) = 1 - P(z \leq -1) \] kan vi använda symmetri hos normalfördelningen: \[ P(z \leq -1) = 1 - P(z \leq 1) \] Alltså: \[ P(z > -1) = P(z \leq 1) \] 5. Från standard normalfördelningen är: \[ P(z \leq 1) \approx 0.8413 \] Så, \( P(X > 182) \approx 0.8413 \). 6. Klubben har 112 spelare, därav: \[ \text{Antal spelare} \approx 112 \times 0.8413 \approx 94.26 \] Eftersom antalet spelare måste vara ett heltal förväntar vi oss att cirka 94 spelare är längre än 182 cm. Svar: \( 94 \) spelare.