\( \iint_{D}(x+y) d A \) Dande \( D \) es la pegion acotado por las Parabolas \( y=\sqrt{x} \) y \( y=x^{2} \)

Para resolver la integral doble \( \iint_{D}(x+y) \, dA \) sobre la región \( D \) acotada por las parábolas \( y = \sqrt{x} \) y \( y = x^2 \), primero necesitamos determinar los puntos de intersección de las dos parábolas. Igualamos las dos ecuaciones: \[ \sqrt{x} = x^2 \] Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz: \[ x = x^4 \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^4 - x = 0 \] Factorizamos: \[ x(x^3 - 1) = 0 \] Esto nos da las soluciones: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x^3 - 1 = 0 \implies x = 1 \] Por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = 0 \) y \( x = 1 \). Ahora, evaluamos las funciones en estos puntos: - Para \( x = 0 \): - \( y = \sqrt{0} = 0 \) - \( y = 0^2 = 0 \) - Para \( x = 1 \): - \( y = \sqrt{1} = 1 \) - \( y = 1^2 = 1 \) Los puntos de intersección son \( (0, 0) \) y \( (1, 1) \). La región \( D \) está delimitada por \( y = \sqrt{x} \) (la parábola que abre hacia arriba) y \( y = x^2 \) (la parábola que también abre hacia arriba, pero más "estrecha"). Para la integral, \( y = \sqrt{x} \) está por encima de \( y = x^2 \) en el intervalo \( [0, 1] \). Ahora podemos establecer la integral doble: \[ \iint_{D} (x+y) \, dA = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (x+y) \, dy \, dx \] Primero, resolvemos la integral interna: \[ \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (x+y) \, dy \] Calculamos esta integral: \[ \int (x+y) \, dy = xy + \frac{y^2}{2} \] Evaluamos de \( y = x^2 \) a \( y = \sqrt{x} \): \[ \left[ x \cdot y + \frac{y^2}{2} \right]_{y=x^2}^{y=\sqrt{x}} = \left( x \cdot \sqrt{x} + \frac{(\sqrt{x})^2}{2} \right) - \left( x \cdot x^2 + \frac{(x^2)^2}{2} \right) \] Calculamos cada parte: 1. Para \( y = \sqrt{x} \): \[ x \cdot \sqrt{x} + \frac{x}{2} = x^{3/2} + \frac{x}{2} \] 2. Para \( y = x^2 \): \[ x \cdot x^2 + \frac{x^4}{2} = x^3 + \frac{x^4}{2} \] Ahora, restamos: \[ \left( x^{3/2} + \frac{x}{2} \right) - \left( x^3 + \frac{x^4}{2} \right) = x^{3/2} + \frac{x}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \] Ahora, integramos con respecto a \( x \): \[ \int_{0}^{1} \left( x^{3/2} + \frac{x}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) \, dx \] Calculamos cada término: 1. \( \int_{0}^{1} x^{3/2} \, dx = \left[ \frac{x^{5/2}}{5/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{5} \) 2. \( \int_{0}^{1} \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \) 3. \( \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \) 4. \( \int_{0}^{1} \frac{x^4}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{10} \) Sumamos todos los resultados: \[ \frac{2}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} \] Simplificamos: \[ \frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10} \] Por lo tanto, el valor de la integral es: \[ \iint_{D} (x+y) \, dA = \frac{3}{10} \]